Escreva a derivada das funções f(x)=e^{x} e f(x)=a^{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas das funções exponenciais \!f(x)=e^x e \!f(x)=a^x.
O conteúdo envolvido é a regra de derivação de exponenciais e, no caso de a^x, o uso da regra da cadeia após reescrevê-la como exponencial natural.

Passo 2

Para f(x)=e^x usamos a propriedade fundamental da exponencial natural: sua derivada é ela mesma. Portanto, sem precisar de cálculo longo de limite, temos
\frac{d}{dx}e^x = e^x.

Passo 3

Para f(x)=a^x (onde a>0 e a\neq1) escrevemos
a^x = e^{x\ln(a)}.
Aplicando a regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=x\ln(a), logo u'(x)=\ln(a). Assim
\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}e^{x\ln(a)} = e^{x\ln(a)}\cdot\ln(a) = a^x\ln(a).

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dx}e^x = e^x \displaystyle \frac{d}{dx}a^x = a^x\,\ln(a)

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