1. Aplique Gram-Schmidt aos vetores:
(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3 e pede que se aplique o processo de Gram–Schmidt. Os vetores fornecidos são:
v_1=(1,1,1),\qquad v_2=(1,0,1),\qquad v_3=(0,1,1).
O objetivo é construir um conjunto ortogonal (e normalmente ortonormal) \{u_1,u_2,u_3\} (ou \{e_1,e_2,e_3\} normalizado) gerado por esses vetores, usando Gram–Schmidt.

Passo 2

Explicando o método (fórmulas e ideias que vou usar).
  • Produto interno (dot product) em \mathbb{R}^3: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
\langle a,b\rangle = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Isso mede “quanto” a aponta na direção de b.
  • Projeção de v sobre u (quando u\neq 0):
\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
Isto é o componente de v na direção de u.
  • Gram–Schmidt (passo a passo):
u_1 = v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2),
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Os u_i resultantes são mutuamente ortogonais. Para obter uma base ortonormal divide-se cada u_i por sua norma \|u_i\|=\sqrt{\langle u_i,u_i\rangle}:
e_i=\frac{u_i}{\|u_i\|}.

Passo 3

Começo com u_1.
u_1 = v_1 = (1,1,1).
Calculo \langle u_1,u_1\rangle:
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+1^2+1^2 = 3.
A norma é \|u_1\|=\sqrt{3}. O vetor normalizado é
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).

Passo 4

Construção de u_2.
Primeiro a projeção de v_2 sobre u_1:
\langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 2,
\operatorname{proj}_{u_1}(v_2)=\frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1=\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).
Agora
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_2) = \left(1,0,1\right) - \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right) = \left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right).
Fatorando 1/3: u_2=\dfrac{1}{3}(1,-2,1).
Calculo da norma ao quadrado:
\langle u_2,u_2\rangle = \left(\tfrac{1}{3}\right)^2(1^2+(-2)^2+1^2) = \tfrac{1}{9}\cdot 6 = \tfrac{6}{9}=\tfrac{2}{3}.
Portanto \|u_2\|=\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}. O vetor normalizado é
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{\tfrac{1}{3}(1,-2,1)}{\sqrt{2/3}}=\frac{(1,-2,1)}{\sqrt{6}}.
(uma forma mais direta: dividir \dfrac{1}{3}(1,-2,1) por \dfrac{\sqrt{6}}{3} (1,-2,1)/\sqrt{6}.)

Passo 5

Construção de u_3.
Primeiro a projeção de v_3 sobre u_1:
\langle v_3,u_1\rangle = 0\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 2,
\operatorname{proj}_{u_1}(v_3)=\frac{2}{3}(1,1,1)=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right).
Agora a projeção de v_3 sobre u_2. Já temos u_2=\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right) e \langle u_2,u_2\rangle=\tfrac{2}{3}.
\langle v_3,u_2\rangle = 0\cdot\tfrac{1}{3} + 1\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right) + 1\cdot\tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{3}.
Portanto
\frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle} = \frac{-\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} = -\tfrac{1}{2},
\operatorname{proj}_{u_2}(v_3) = -\tfrac{1}{2}\,u_2 = -\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\right) = \left(-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{6}\right).
Agora
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(v_3).
Fazendo as subtrações passo a passo:
v_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(v_3) = \left(0,1,1\right) - \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3},\tfrac{2}{3}\right) = \left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right),
u_3 = \left(-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right) - \left(-\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{6}\right) = \left(-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6},\; \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3},\; \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}\right).
Simplificando cada componente:
-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6} = -\tfrac{4}{6}+\tfrac{1}{6}=-\tfrac{3}{6}=-\tfrac{1}{2},
\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}=0,
\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{6}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}.
Logo
u_3 = \left(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{2}(-1,0,1).
Calculo da norma:
\langle u_3,u_3\rangle = \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2},
\|u_3\|=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
O vetor normalizado é
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\frac{\tfrac{1}{2}(-1,0,1)}{1/\sqrt{2}} = \frac{(-1,0,1)}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Verificação rápida de ortogonalidade (apenas para ficar tranquilo):
\langle u_1,u_2\rangle = \langle (1,1,1),\;(\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3})\rangle = \tfrac{1}{3}-\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=0,
\langle u_1,u_3\rangle = \langle (1,1,1),\;(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2})\rangle = -\tfrac{1}{2}+0+\tfrac{1}{2}=0,
\langle u_2,u_3\rangle = \langle (\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}),\;(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2})\rangle = -\tfrac{1}{6}+0+\tfrac{1}{6}=0.
Portanto os u_i são mutuamente ortogonais e os e_i são ortonormais.

Resposta

\displaystyle e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)
\displaystyle e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)
\displaystyle e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)

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