- Aplique Gram-Schmidt aos vetores:
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
e pede que se aplique o processo de Gram–Schmidt. Os vetores fornecidos são:
O objetivo é construir um conjunto ortogonal (e normalmente ortonormal)
(ou
normalizado) gerado por esses vetores, usando Gram–Schmidt.
Passo 2
Explicando o método (fórmulas e ideias que vou usar).
- Produto interno (dot product) em
: para e ,
Isso mede “quanto”
aponta na direção de
.
- Projeção de
sobre (quando ):
Isto é o componente de
na direção de
.
- Gram–Schmidt (passo a passo):
Os
resultantes são mutuamente ortogonais. Para obter uma base ortonormal divide-se cada
por sua norma
:
Passo 3
Começo com
.
Calculo
:
A norma é
. O vetor normalizado é
Passo 4
Construção de
.
Primeiro a projeção de sobre
:
Primeiro a projeção de
Agora
Fatorando
:
.
Calculo da norma ao quadrado:
Portanto
. O vetor normalizado é
(uma forma mais direta: dividir
por
dá
.)
Passo 5
Construção de
.
Primeiro a projeção de sobre
:
Primeiro a projeção de
Agora a projeção de
sobre
. Já temos
e
.
Portanto
Agora
Fazendo as subtrações passo a passo:
Simplificando cada componente:
Logo
Calculo da norma:
O vetor normalizado é
Passo 6
Verificação rápida de ortogonalidade (apenas para ficar tranquilo):
Portanto os
são mutuamente ortogonais e os
são ortonormais.