1. Ortonormalize:
(1,0,1),(1,1,0)

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(1,0,1),\qquad v_2=(1,1,0).
O que se pede é encontrar um conjunto ortonormal que gere o mesmo subespaço gerado por \{v_1,v_2\}. Em outras palavras, quero dois vetores ortogonais entre si e de norma 1 que estejam no espaço gerado por v_1 e v_2.

Passo 2

Vou usar o processo de Gram–Schmidt. Antes de aplicar, explico as fórmulas e o significado das quantidades:
  • O produto interno padrão em \mathbb{R}^3 entre dois vetores a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) é
\langle a,b\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
  • A norma associada é
\|a\|=\sqrt{\langle a,a\rangle }.
  • A projeção de um vetor u sobre um vetor v (com v\neq 0) é
\operatorname{proj}_{v} u = \frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\, v.
No Gram–Schmidt, dado v_1,v_2 define-se
u_1=v_1,\qquad e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|},
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2, \qquad e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}.
Os vetores e_1,e_2 então são ortonormais (desde que u_2\neq 0).

Passo 3

Calculo u_1 e o primeiro vetor unitário e_1.
u_1=v_1=(1,0,1).
A norma de u_1 é
\|u_1\|=\sqrt{\langle u_1,u_1\rangle}=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo
e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1).

Passo 4

Agora calculo u_2 subtraindo de v_2 sua projeção sobre u_1.
Primeiro o produto interno
\langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 1.
E já sabemos \langle u_1,u_1\rangle = 2. Assim a projeção é
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle} u_1 = \frac{1}{2}(1,0,1)=\left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right).
Subtraindo:
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \left(1,1,0\right) - \left(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\right).

Passo 5

Normalizo u_2 para obter e_2.
Calculo a norma ao quadrado:
\|u_2\|^2 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4} + 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{2}.
Portanto
\|u_2\|=\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Dividindo u_2 por essa norma:
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \frac{\left(\tfrac{1}{2},1,-\tfrac{1}{2}\right)}{\tfrac{\sqrt{6}}{2}} = \left(\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{2}{\sqrt{6}},-\tfrac{1}{\sqrt{6}}\right) = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova):
  • Normas: \|e_1\|=1 e \|e_2\|=1 por construção.
  • Ortogonalidade:
\langle e_1,e_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{6}}\big(1\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot(-1)\big) = \frac{1}{\sqrt{12}}(1-1)=0.
Portanto e_1 e e_2 são ortonormais e geram o mesmo subespaço de v_1,v_2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1)

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