- Ortonormalize:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
:
O que se pede é encontrar um conjunto ortonormal que gere o mesmo subespaço gerado por
. Em outras palavras, quero dois vetores ortogonais entre si e de norma
que estejam no espaço gerado por
e
.
Passo 2
Vou usar o processo de Gram–Schmidt. Antes de aplicar, explico as fórmulas e o significado das quantidades:
- O produto interno padrão em
entre dois vetores e é
- A norma associada é
- A projeção de um vetor
sobre um vetor (com ) é
No Gram–Schmidt, dado
define-se
Os vetores
então são ortonormais (desde que
).
Passo 3
Calculo
e o primeiro vetor unitário
.
A norma de
é
Logo
Passo 4
Agora calculo
subtraindo de
sua projeção sobre
.
Primeiro o produto interno
Primeiro o produto interno
E já sabemos
. Assim a projeção é
Subtraindo:
Passo 5
Normalizo
para obter
.
Calculo a norma ao quadrado:
Calculo a norma ao quadrado:
Portanto
Dividindo
por essa norma:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova):
- Normas:
e por construção. - Ortogonalidade:
Portanto
e
são ortonormais e geram o mesmo subespaço de
.