Aplique integração por partes:
integral(x^2-2 x+5) e^-x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral indefinida
integral (x^2 - 2x + 5),e^-x,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos um polinômio multiplicando uma exponencial. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2 - 2x + 5, dv = e^-x,dx
Então
du = (2x - 2),dx, v = integral e^-x,dx = -e^-x
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral (x^2 - 2x + 5)e^-x,dx = u,v - integral v,du = -(x^2 - 2x + 5),e^-x - integral l(-e^-xr)(2x - 2),dx
= -(x^2 - 2x + 5),e^-x + integral (2x - 2),e^-x,dx

Passo 3

Precisamos calcular
integral (2x - 2),e^-x,dx
Fatoramos 2 e aplicamos outra vez integração por partes em integral (x - 1)e^-x,dx. Tome
u1 = x - 1, dv1 = e^-x,dx
du1 = dx, v1 = -e^-x
Então
integral (x - 1)e^-x,dx = u1,v1 - integral v1,du1 = - (x - 1),e^-x - integral l(-e^-xr),dx
= -(x - 1),e^-x + integral e^-x,dx = -(x - 1),e^-x - e^-x = -x,e^-x
Multiplicando por 2, obtemos
integral (2x - 2),e^-x,dx = -2x,e^-x

Passo 4

Voltando à expressão inicial:
integral (x^2 - 2x + 5)e^-x,dx = -(x^2 - 2x + 5),e^-x ;+; l(-2x,e^-xr) = -l(x^2 + 5r),e^-x + C

Resposta

-l(x^2 + 5r),e^-x + C

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