Calcule as seguintes diferenciais:
e resolva:
Dica: Use o resultado das diferenciais, para resolver!!
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular algumas diferenciais e depois resolver uma equação diferencial. Vamos precisar usar conceitos de cálculo como diferenciais de funções e resolver equações diferenciais básicas. Primeiro, vamos calcular as diferenciais de
,
e
. Depois, usaremos esses resultados para resolver a equação diferencial dada.
Passo 2
Vamos começar calculando a diferencial de
. A diferencial de uma função
em relação a
e
é dada por:
Aqui,
. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, derivamos em relação a
:
Agora, derivamos em relação a
:
Então, a diferencial de
é:
Passo 3
Agora vamos calcular a diferencial de
usando o mesmo processo. Temos
.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Portanto, a diferencial de
é:
Passo 4
Vamos calcular agora a diferencial de
, onde
é uma constante. A diferencial de uma função
é dada por:
Neste caso,
, então a derivada de
em relação a
é:
Assim, a diferencial de
é:
Passo 5
Agora que calculamos as diferenciais necessárias, vamos resolver a equação diferencial dada:
Primeiro, vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução. Podemos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, vamos rearranjar os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa forma sugere que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma solução.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simples:
Agora, precisamos encontrar a integral do lado direito. Observando a expressão
, percebemos que pode ser útil fazer uma substituição para simplificar a integral.
Vamos supor que
. Então, a derivada de
em relação a
é:
No entanto, isso torna a integral complicada, e uma abordagem melhor seria separar as variáveis de outra forma ou identificar se a equação é exata ou pode ser resolvida por outro método.
Vamos reconsiderar a equação original:
Podemos reescrever essa equação de forma a separar as variáveis
e
:
Vamos dividir ambos os lados por
:
Simplificando:
Agora, temos:
Vamos integrar ambos os lados agora:
Passo 7
Vamos realizar as integrações:
Agora, temos uma integral que ainda envolve
. Para resolver isso, precisamos relacionar
e
. Podemos utilizar a equação diferencial original para expressar
em termos de
ou vice-versa, mas isso pode complicar as coisas.
Uma abordagem mais eficiente seria tentar encontrar uma solução de forma direta, assumindo que
é uma função de
e reorganizando a equação diferencial para identificar uma solução.
Vamos reconsiderar a equação original:
Podemos fatorar
no denominador:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Expandindo:
Ainda parece complicado separar as variáveis. Talvez uma substituição possa ajudar. Vamos tentar usar
.
Se
, então:
Substituindo
da equação original:
Simplificando:
Ainda está complicado. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 8
Vamos tentar resolver a equação diferencial usando uma substituição adequada. Observando a equação:
Podemos reescrever isso como:
Vamos tentar separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Agora, multiplicando ambos os lados por
:
Agora, tentamos encontrar uma maneira de integrar essa equação.
Vamos tentar uma substituição:
. Então,
e
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Expandindo:
Levando todos os termos para um lado:
Então, temos:
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Passo 9
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Vamos encontrar
e
:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Então:
Agora, podemos integrar:
Integrando:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
.
Usando propriedades dos logaritmos:
Removendo os logaritmos:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 10
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos de volta:
Vamos simplificar dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Distribuindo
:
Rearranjando os termos:
Esta é a equação implícita da solução geral. Agora, usamos a condição inicial
para determinar a constante
.
Passo 11
Aplicando a condição inicial
:
Simplificando:
Então,
.
Substituindo de volta na equação:
Podemos reescrever isso como:
Passo 12
Agora, expressamos a solução explícita para
. Vamos rearranjar a equação quadrática em
:
Isso é uma equação do tipo
, onde:
Usamos a fórmula quadrática para resolver para
:
Substituindo os valores:
Agora, aplicamos a condição inicial
para escolher o sinal adequado. Substituindo
:
Isso implica que devemos usar o sinal positivo. Portanto, a solução é:
Resposta
A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial
, é: