Calcule as seguintes diferenciais:
d(xy), d(yx), d(x^n)
e resolva:
d yd x & =yx-x^2 y y(1) & =1
Dica: Use o resultado das diferenciais, para resolver!!

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para calcular algumas diferenciais e depois resolver uma equação diferencial. Vamos precisar usar conceitos de cálculo como diferenciais de funções e resolver equações diferenciais básicas. Primeiro, vamos calcular as diferenciais de xy, yx e x^n. Depois, usaremos esses resultados para resolver a equação diferencial dada.

Passo 2

Vamos começar calculando a diferencial de xy. A diferencial de uma função f(x, y) em relação a x e y é dada por:
df = partial fpartial x dx + partial fpartial y dy
Aqui, f(x, y) = xy. Então, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y.
Primeiro, derivamos em relação a x:
partialpartial x ( xy ) = 1y
Agora, derivamos em relação a y:
partialpartial y ( xy ) = -xy^2
Então, a diferencial de xy é:
d( xy ) = 1y dx - xy^2 dy

Passo 3

Agora vamos calcular a diferencial de yx usando o mesmo processo. Temos f(x, y) = yx.
Derivando em relação a x:
partialpartial x ( yx ) = -yx^2
Derivando em relação a y:
partialpartial y ( yx ) = 1x
Portanto, a diferencial de yx é:
d( yx ) = -yx^2 dx + 1x dy

Passo 4

Vamos calcular agora a diferencial de x^n, onde n é uma constante. A diferencial de uma função f(x) é dada por:
df = f'(x) dx
Neste caso, f(x) = x^n, então a derivada de f em relação a x é:
f'(x) = n x^n-1
Assim, a diferencial de x^n é:
d(x^n) = n x^n-1 dx

Passo 5

Agora que calculamos as diferenciais necessárias, vamos resolver a equação diferencial dada:
dydx = yx - x^2 y
Primeiro, vamos reescrever essa equação para facilitar a resolução. Podemos multiplicar ambos os lados por (x - x^2 y):
(x - x^2 y) dydx = y
Agora, vamos rearranjar os termos:
(x - x^2 y) dy = y dx
Dividindo ambos os lados por y(x - x^2 y):
dyy = dxx - x^2 y
Essa forma sugere que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma solução.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1y dy = integral 1x - x^2 y dx
A integral do lado esquerdo é simples:
ln |y| = integral do lado direito + C
Agora, precisamos encontrar a integral do lado direito. Observando a expressão 1x - x^2 y, percebemos que pode ser útil fazer uma substituição para simplificar a integral.
Vamos supor que u = x - x^2 y. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 1 - 2x y - x^2 dydx
No entanto, isso torna a integral complicada, e uma abordagem melhor seria separar as variáveis de outra forma ou identificar se a equação é exata ou pode ser resolvida por outro método.
Vamos reconsiderar a equação original:
dydx = yx - x^2 y
Podemos reescrever essa equação de forma a separar as variáveis x e y:
(x - x^2 y) dy = y dx
Vamos dividir ambos os lados por x y:
x - x^2 yx y dy = 1x dx
Simplificando:
( 1y - x ) dy = 1x dx
Agora, temos:
1y dy - x dy = 1x dx
Vamos integrar ambos os lados agora:
integral 1y dy - integral x dy = integral 1x dx

Passo 7

Vamos realizar as integrações:
ln |y| - integral x dy = ln |x| + C
Agora, temos uma integral que ainda envolve x dy. Para resolver isso, precisamos relacionar x e y. Podemos utilizar a equação diferencial original para expressar x em termos de y ou vice-versa, mas isso pode complicar as coisas.
Uma abordagem mais eficiente seria tentar encontrar uma solução de forma direta, assumindo que y é uma função de x e reorganizando a equação diferencial para identificar uma solução.
Vamos reconsiderar a equação original:
dydx = yx - x^2 y
Podemos fatorar x no denominador:
dydx = yx(1 - x y)
Agora, vamos separar as variáveis y e x:
(1 - x y) dy = yx dx
Expandindo:
dy - x y dy = yx dx
Ainda parece complicado separar as variáveis. Talvez uma substituição possa ajudar. Vamos tentar usar u = x y.
Se u = x y, então:
dudx = y + x dydx
Substituindo dydx da equação original:
dudx = y + x ( yx - x^2 y ) = y + x yx (1 - x y) = y + y1 - u = y ( 1 + 11 - u )
Simplificando:
dudx = y ( 1 - u + 11 - u ) = y ( 2 - u1 - u )
Ainda está complicado. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 8

Vamos tentar resolver a equação diferencial usando uma substituição adequada. Observando a equação:
dydx = yx - x^2 y
Podemos reescrever isso como:
dydx = yx (1 - x y)
Vamos tentar separar as variáveis multiplicando ambos os lados por 1 - x y e dividindo por y:
(1 - x y) dydx = yx
Agora, multiplicando ambos os lados por x:
x (1 - x y) dydx = y
Agora, tentamos encontrar uma maneira de integrar essa equação.
Vamos tentar uma substituição: u = x y. Então, y = ux e dydx = 1x dudx - ux^2.
Substituindo na equação:
x (1 - u) ( 1x dudx - ux^2 ) = ux
Simplificando:
(1 - u) ( dudx - ux ) = ux
Expandindo:
(1 - u) dudx - u (1 - u)x = ux
Levando todos os termos para um lado:
(1 - u) dudx = ux + u (1 - u)x = ux (1 + 1 - u) = u (2 - u)x
Então, temos:
(1 - u) dudx = u (2 - u)x
Agora, vamos separar as variáveis u e x:
(1 - u)u (2 - u) du = 1x dx

Passo 9

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral (1 - u)u (2 - u) du = integral 1x dx
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
1 - uu (2 - u) = Au + B2 - u
Vamos encontrar A e B:
1 - u = A (2 - u) + B u
Expandindo:
1 - u = 2A - A u + B u
Agrupando os termos:
1 - u = 2A + (B - A) u
Igualando os coeficientes:
2A = 1 Rightarrow A = 12
B - A = -1 Rightarrow B - 12 = -1 Rightarrow B = -12
Então:
1 - uu (2 - u) = 1/2u - 1/22 - u
Agora, podemos integrar:
integral ( 12u - 12(2 - u) ) du = integral 1x dx
Integrando:
12 ln |u| + 12 ln |2 - u| = ln |x| + C
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
ln |u| + ln |2 - u| = 2 ln |x| + C'
Onde C' = 2C.
Usando propriedades dos logaritmos:
ln |u (2 - u)| = ln |x^2| + C'
Removendo os logaritmos:
u (2 - u) = K x^2
Onde K = e^C' é uma constante arbitrária.

Passo 10

Lembrando que fizemos a substituição u = x y, substituímos de volta:
x y (2 - x y) = K x^2
Vamos simplificar dividindo ambos os lados por x (assumindo x neq 0):
y (2 - x y) = K x
Distribuindo y:
2y - x y^2 = K x
Rearranjando os termos:
x y^2 - 2y + K x = 0
Esta é a equação implícita da solução geral. Agora, usamos a condição inicial y(1) = 1 para determinar a constante K.

Passo 11

Aplicando a condição inicial y(1) = 1:
1 cdot (2 - 1 cdot 1) = K cdot 1^2
Simplificando:
1 cdot (2 - 1) = K cdot 1
1 = K
Então, K = 1.
Substituindo de volta na equação:
x y^2 - 2y + x = 0
Podemos reescrever isso como:
x y^2 + x - 2y = 0

Passo 12

Agora, expressamos a solução explícita para y. Vamos rearranjar a equação quadrática em y:
x y^2 - 2y + x = 0
Isso é uma equação do tipo a y^2 + b y + c = 0, onde:
a = x, b = -2, c = x
Usamos a fórmula quadrática para resolver para y:
y = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Substituindo os valores:
y = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot x cdot x2 x = 2 pm raiz4 - 4 x^22 x = 2 pm 2 raiz1 - x^22 x = 1 pm raiz1 - x^2x
Agora, aplicamos a condição inicial y(1) = 1 para escolher o sinal adequado. Substituindo x = 1:
1 = 1 pm raiz1 - 1^21 = 1 pm 0
Isso implica que devemos usar o sinal positivo. Portanto, a solução é:
y = 1 + raiz1 - x^2x

Resposta

A solução da equação diferencial dada, com a condição inicial y(1) = 1, é:
y = 1 + raiz1 - x^2x

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