Determine a solução de equílibrio( classificando-a) e resolva a edo. Analise as condições para haver uma única solução, usando o teorema de existência e unicidade( o que ocorre, se ? E,se ?).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as soluções de equilíbrio da equação diferencial dada, classificar essas soluções, resolver a equação diferencial, e então analisar as condições para que haja uma única solução usando o teorema de existência e unicidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrio de equações diferenciais, resolução de EDOs separáveis e o teorema de existência e unicidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio ocorrem onde a derivada é igual a zero. Então, vamos resolver:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Então, as soluções de equilíbrio são e .
Agora, vamos classificar essas soluções. Para isso, vamos analisar o sinal de em torno desses pontos:
Para :
Se for um pouco maior que 0, é positiva porque . Isso significa que tende a aumentar.
Portanto, é um ponto de equilíbrio instável.
Para :
Se for um pouco menor que , , então tende a aumentar em direção a .
Se for um pouco maior que , , então tende a diminuir em direção a .
Portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial separável, então podemos separar as variáveis e :
Vamos rearranjar para separar e :
Agora, integramos ambos os lados. Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos fazer uma substituição. Deixe , então e . Substituindo:
Isso simplifica para:
Reconhecendo que para k = ba, temos:
2a cdot 12raizba ln|1+raizbau1-raizbau| = t + C
Simplificando:
1a raizba ln|1+raizba raizp1-raizba raizp| = t + C
Multiplicando os termos para simplificar:
1raiza b ln|1+raizba raizp1-raizba raizp| = t + C
Finalmente, isolando raizp:
ln|1+raizba raizp1-raizba raizp| = raiza b(t + C)
Podemos reescrever com uma constante C':
1+raizba raizp1-raizba raizp = e^raiza b t + C'
E resolvendo para p:
p(t) = (1 - e^-raiza b t1 + e^-raiza b t)^2 cdot ab
Passo 4
Agora, vamos analisar as condições para haver uma única solução usando o teorema de existência e unicidade. Esse teorema nos diz que, se a função f(p, t) = raizp(a - b p) e sua derivada parcial partial fpartial p forem contínuas em torno do ponto inicial, então existe uma única solução local para a equação diferencial.
Vamos verificar os casos mencionados:
Se p(0) = 0:
A função f(p, t) = raizp(a - b p) não é derivável em p = 0 porque raizp tem derivada infinita em p = 0. Isso significa que a condição de unicidade não é garantida nesse ponto.
De fato, existem duas soluções possíveis: p(t) = 0 para todo t e a solução não trivial que saindo de p = 0.
Se p(t0) = 0:
Similar ao caso anterior, a não diferenciabilidade de f em p = 0 implica que pode não haver unicidade.
Assim como antes, podemos ter múltiplas soluções passando por p = 0.
Portanto, para que haja uma única solução, o ponto inicial não deve ser p = 0. Quando p(0) = 0 ou p(t0) = 0, a unicidade da solução não é garantida devido à não derivabilidade da função f nesse ponto.
Resposta
As soluções de equilíbrio são p = 0 (instável) e p = ab (estável). A solução geral da equação diferencial é
p(t) = (1 - e^-raiza b t1 + e^-raiza b t)^2 cdot ab
Além disso, há uma única solução única se o ponto inicial p(0) neq 0. Se p(0) = 0 ou p(t0) = 0, a unicidade da solução não é garantida.