Determine a solução de equílibrio( classificando-a) e resolva a edo. Analise as condições para haver uma única solução, usando o teorema de existência e unicidade( o que ocorre, se p(0)=0 ? E,se p(t0)=0 ?).
dotp=raizp(a-b p), a, b in R>= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as soluções de equilíbrio da equação diferencial dada, classificar essas soluções, resolver a equação diferencial, e então analisar as condições para que haja uma única solução usando o teorema de existência e unicidade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equilíbrio de equações diferenciais, resolução de EDOs separáveis e o teorema de existência e unicidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as soluções de equilíbrio. As soluções de equilíbrio ocorrem onde a derivada dotp é igual a zero. Então, vamos resolver:
dotp = raizp(a - b p) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
  1. raizp = 0 Rightarrow p = 0
  2. a - b p = 0 Rightarrow p = ab
Então, as soluções de equilíbrio são p = 0 e p = ab.
Agora, vamos classificar essas soluções. Para isso, vamos analisar o sinal de dotp em torno desses pontos:
  • Para p = 0:
    • Se p for um pouco maior que 0, dotp = raizp(a - b p) é positiva porque a - b p approx a > 0. Isso significa que p tende a aumentar.
    • Portanto, p = 0 é um ponto de equilíbrio instável.
  • Para p = ab:
    • Se p for um pouco menor que ab, dotp > 0, então p tende a aumentar em direção a ab.
    • Se p for um pouco maior que ab, dotp < 0, então p tende a diminuir em direção a ab.
    • Portanto, p = ab é um ponto de equilíbrio estável.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
dotp = raizp(a - b p)
Essa é uma equação diferencial separável, então podemos separar as variáveis p e t:
dpdt = raizp(a - b p)
Vamos rearranjar para separar p e t:
dpraizp(a - b p) = dt
Agora, integramos ambos os lados. Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
integral dpraizp(a - b p) = integral dt
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos fazer uma substituição. Deixe u = raizp, então p = u^2 e dp = 2u du. Substituindo:
integral 2u duu(a - b u^2) = integral 2 dua - b u^2
Isso simplifica para:
2a integral du1 - ba u^2 = t + C
Reconhecendo que integral du1 - k u^2 = 12raizk ln|1+raizku1-raizku| para k = ba, temos:
2a cdot 12raizba ln|1+raizbau1-raizbau| = t + C
Simplificando:
1a raizba ln|1+raizba raizp1-raizba raizp| = t + C
Multiplicando os termos para simplificar:
1raiza b ln|1+raizba raizp1-raizba raizp| = t + C
Finalmente, isolando raizp:
ln|1+raizba raizp1-raizba raizp| = raiza b(t + C)
Podemos reescrever com uma constante C':
1+raizba raizp1-raizba raizp = e^raiza b t + C'
E resolvendo para p:
p(t) = (1 - e^-raiza b t1 + e^-raiza b t)^2 cdot ab

Passo 4

Agora, vamos analisar as condições para haver uma única solução usando o teorema de existência e unicidade. Esse teorema nos diz que, se a função f(p, t) = raizp(a - b p) e sua derivada parcial partial fpartial p forem contínuas em torno do ponto inicial, então existe uma única solução local para a equação diferencial.
Vamos verificar os casos mencionados:
  1. Se p(0) = 0:
    • A função f(p, t) = raizp(a - b p) não é derivável em p = 0 porque raizp tem derivada infinita em p = 0. Isso significa que a condição de unicidade não é garantida nesse ponto.
    • De fato, existem duas soluções possíveis: p(t) = 0 para todo t e a solução não trivial que saindo de p = 0.
  2. Se p(t0) = 0:
    • Similar ao caso anterior, a não diferenciabilidade de f em p = 0 implica que pode não haver unicidade.
    • Assim como antes, podemos ter múltiplas soluções passando por p = 0.
Portanto, para que haja uma única solução, o ponto inicial não deve ser p = 0. Quando p(0) = 0 ou p(t0) = 0, a unicidade da solução não é garantida devido à não derivabilidade da função f nesse ponto.

Resposta

As soluções de equilíbrio são p = 0 (instável) e p = ab (estável). A solução geral da equação diferencial é
p(t) = (1 - e^-raiza b t1 + e^-raiza b t)^2 cdot ab
Além disso, há uma única solução única se o ponto inicial p(0) neq 0. Se p(0) = 0 ou p(t0) = 0, a unicidade da solução não é garantida.

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