Determine os valores de r para os quais a equação diferencial tem uma solução da forma y(t)=e^r t.
y^prime prime-y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede os valores de r para os quais a função y(t)=e^r t é solução da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' - 2y = 0
Precisamos então formar a chamada equação característica.

Passo 2

Assumimos a solução y(t)=e^r t$. Dessa forma, suas derivadas são
y'(t) = r,e^r t, y''(t) = r^2,e^r t

Passo 3

Substituindo y, y' e y'' na equação diferencial, obtemos
r^2 e^r t - r e^r t - 2 e^r t = 0
Como e^r tneq 0 para todo t, podemos dividir por esse fator e chegar à equação característica
r^2 - r - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
r^2 - r - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara, vem
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
portanto as raízes são r1=2 e r2=-1.

Resposta

Os valores de r são 2 e -1.

Exercícios relacionados