Resolva as EDOs:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que relaciona a derivada de
em relação ao tempo
com
em si. A equação é:
Para resolver essa EDO, vamos precisar utilizar técnicas de separação de variáveis e integração, que são fundamentais no estudo de equações diferenciais.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação diferencial para separar as variáveis
e
. Isso significa que queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado.
A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Vamos simplificar:
Podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir
, então
. Substituindo na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
A integral de
é conhecida:
Voltando à variável original
, onde
, temos:
Passo 7
Voltando à equação inicial após a integração:
Podemos rearranjar para expressar
em termos de
:
Resposta
A solução da EDO é:
Onde
é a constante de integração.