Resolva as EDOs:
dotx=x^2raiz1-x^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que relaciona a derivada de x em relação ao tempo t com x em si. A equação é:
dotx = x^2raiz1 - x^2
Para resolver essa EDO, vamos precisar utilizar técnicas de separação de variáveis e integração, que são fundamentais no estudo de equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação diferencial para separar as variáveis x e t. Isso significa que queremos colocar todos os termos com x de um lado e os termos com t do outro lado.
A equação dada é:
dxdt = x^2raiz1 - x^2
Podemos reescrever isso como:
raiz1 - x^2 , dx = x^2 , dt

Passo 3

Agora, vamos isolar dt dividindo ambos os lados por x^2:
dt = raiz1 - x^2x^2 , dx
Isso nos permite integrar ambos os lados para encontrar a relação entre x e t.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
integral dt = integral raiz1 - x^2x^2 , dx
A integral do lado esquerdo é simples:
t + C = integral raiz1 - x^2x^2 , dx
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral do lado direito. Vamos simplificar:
integral raiz1 - x^2x^2 , dx
Podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir x = sin theta, então dx = cos theta , dtheta. Substituindo na integral:
integral raiz1 - sin^2 thetasin^2 theta cos theta , dtheta = integral cos thetasin^2 theta cos theta , dtheta = integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta
Isso simplifica para:
integral cot^2 theta , dtheta

Passo 6

A integral de cot^2 theta é conhecida:
integral cot^2 theta , dtheta = -cot theta - theta + C
Voltando à variável original x, onde x = sin theta, temos:
-cos thetasin theta - theta = -raiz1 - x^2x - arcsin x

Passo 7

Voltando à equação inicial após a integração:
t + C = -raiz1 - x^2x - arcsin x
Podemos rearranjar para expressar t em termos de x:
t = -raiz1 - x^2x - arcsin x + C

Resposta

A solução da EDO é:
t = -raiz1 - x^2x - arcsin x + C
Onde C é a constante de integração.

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