Aplique integração por partes:
integral x^3 e^-x / 3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^3e^-x/3,dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui vamos precisar escolher repetidamente u como potência de x e dv como e^-x/3dx, obtendo v por integração direta de e^-x/3.

Passo 2

Primeiro, definimos
u = x^3, dv = e^-x/3,dx
Então
du = 3x^2,dx, v = integral e^-x/3,dx = -3,e^-x/3
Aplicando integração por partes:
integral x^3e^-x/3,dx = u,v - integral v,du = -3x^3e^-x/3 - integrall(-3e^-x/3r)l(3x^2,dxr) = -3x^3e^-x/3 + 9integral x^2e^-x/3,dx

Passo 3

Agora focamos em
integral x^2e^-x/3,dx.
Reaplicamos partes com
u = x^2, dv = e^-x/3,dx ;Longrightarrow; du = 2x,dx, ;v = -3e^-x/3
Logo,
integral x^2e^-x/3,dx = -3x^2e^-x/3 - integrall(-3e^-x/3r)(2x,dx) = -3x^2e^-x/3 +6integral x,e^-x/3,dx

Passo 4

Agora calculamos
integral x,e^-x/3,dx
por partes uma última vez, com
u = x, dv = e^-x/3,dx ;Longrightarrow; du = dx, ;v = -3e^-x/3
Então
integral x,e^-x/3,dx = -3x,e^-x/3 - integrall(-3e^-x/3r),dx = -3x,e^-x/3 +3integral e^-x/3,dx = -3x,e^-x/3 -9,e^-x/3
Isto é,
integral x,e^-x/3,dx = -(3x+9),e^-x/3

Passo 5

Voltando à expressão de integral x^2e^-x/3,dx:
integral x^2e^-x/3,dx = -3x^2e^-x/3 +6l[-(3x+9)e^-x/3r] = -(3x^2+18x+54),e^-x/3
E então na integral original:
integral x^3e^-x/3,dx = -3x^3e^-x/3 +9l[-(3x^2+18x+54)e^-x/3r] = l[-3x^3-27x^2-162x-486r]e^-x/3

Resposta

boxed integral x^3e^-x/3,dx = -l(3x^3+27x^2+162x+486r),e^-x/3 + C

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