Determine os valores de r para os quais a equação diferencial tem uma solução da forma y(t)=e^r t.
y^prime prime prime-4 y^prime prime-5 y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e quer descobrir para quais valores de r a função y(t) = e^rt resolve essa equação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos utilizar o método de substituição de soluções exponenciais, que envolve encontrar uma equação característica e resolver para r .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função y(t) = e^rt . As derivadas ficam assim:
y'(t) = r e^rt
y''(t) = r^2 e^rt
y'''(t) = r^3 e^rt

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial dada:
y''' - 4y'' - 5y' = 0
Substituindo:
r^3 e^rt - 4r^2 e^rt - 5r e^rt = 0

Passo 4

Observe que e^rt é sempre diferente de zero, então podemos dividir todos os termos por e^rt :
r^3 - 4r^2 - 5r = 0

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
r^3 - 4r^2 - 5r = 0
Vamos fatorar:
r(r^2 - 4r - 5) = 0
Isso nos dá uma solução imediata: r = 0 .

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática restante:
r^2 - 4r - 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362
r = 4 pm 62
Isso resulta em duas soluções:
r = 4 + 62 = 5
r = 4 - 62 = -1

Resposta

Os valores de r que tornam y(t) = e^rt uma solução da equação diferencial são r = 0 , r = 5 e r = -1 .

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