Determine os valores de
para os quais a equação diferencial tem uma solução da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial e quer descobrir para quais valores de
a função
resolve essa equação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos utilizar o método de substituição de soluções exponenciais, que envolve encontrar uma equação característica e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar a função
. As derivadas ficam assim:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Observe que
é sempre diferente de zero, então podemos dividir todos os termos por
:
Passo 5
Agora, temos a equação característica:
Vamos fatorar:
Isso nos dá uma solução imediata:
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação quadrática restante:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso resulta em duas soluções:
Resposta
Os valores de
que tornam
uma solução da equação diferencial são
,
e
.