Seja a EDO:
tal que
for uma função
que dependa apenas de z=xy. Então, existe um fator integrante
que torna a edo, numa edo exata, tal que:
Sabendo desse fato, resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, estamos lidando com uma EDO que envolve as funções
e
. O conteúdo que vamos usar para resolver essa equação é o método do fator integrante, que nos ajuda a transformar a EDO em uma forma que a gente consegue integrar facilmente. Para isso, vamos precisar calcular o fator integrante
, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa EDO:
Agora, precisamos calcular a função
, que é dada por:
Vamos lá!
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na fórmula de
:
Passo 4
Perceba que
depende apenas de
, porque:
Mas como
, podemos reescrever
como:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do fator integrante
:
Podemos ignorar a constante
porque ela se cancela na multiplicação. Assim:
Passo 6
Com o fator integrante encontrado, multiplicamos a EDO original por
:
Isso transforma a EDO em uma forma exata, ou seja, a esquerda da equação agora é a derivada de
, onde
é uma função potencial.
Passo 7
Agora, como a EDO ficou exata, podemos integrar ambos os lados em relação a
ou
. Vamos integrar em relação a
:
Mas para simplificar, sabemos que a solução geral de uma EDO exata é:
Onde
é a função potencial cuja derivada parcial com respeito a
é
e com respeito a
é
.
Passo 8
Vamos encontrar
:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Fazia mais sentido agora voltar e considerar que a equação já está exata e seguir para a solução geral.
Passo 9
Com a equação exata, podemos escrever:
Integrando ambos os lados:
Então, a solução geral é:
Onde
é uma constante.
Passo 10
Finalmente, substituímos
:
Portanto, a solução geral da EDO é:
Mas para simplificar e apresentar a resposta final, podemos deixar em termos implícitos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.