Aplique integração por partes:
integral x arc sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x,arcsin x,dx
usando integração por partes. Vamos usar a regra
integral u,dv = u,v - integral v,du
e depois avaliar as integrais resultantes, incluindo
integralraiz1-x^2,dx e integral1raiz1-x^2,dx.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo a simplificar:
u = arcsin x e dv = x,dx.
Então
du = 1raiz1-x^2,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,arcsin x,dx = u,v - integral v,du = x^22,arcsin x - integral x^22,1raiz1-x^2,dx = x^22,arcsin x - 12integralx^2raiz1-x^2,dx
Resta calcular
I = integralx^2raiz1-x^2,dx

Passo 4

Para I, escrevemos
x^2 = -l(1 - x^2r) + 1,
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I = integral-l(1-x^2r) + 1raiz1-x^2,dx = -integralraiz1-x^2,dx + integral1raiz1-x^2,dx

Passo 5

Usamos fórmulas conhecidas:
integralraiz1-x^2,dx = x2raiz1-x^2 + 12arcsin x, integral1raiz1-x^2,dx = arcsin x
Assim
I = -l[x2raiz1-x^2 + 12arcsin xr] + arcsin x = -x2raiz1-x^2 + 12arcsin x

Passo 6

Volta à expressão inicial:
integral x,arcsin x,dx = x^22,arcsin x - 12I = x^22,arcsin x - 12l(-x2raiz1-x^2 + 12arcsin xr)
Distribuindo e simplificando:
integral x,arcsin x,dx = x^22arcsin x + x4raiz1-x^2 - 14arcsin x + C = 2x^2 - 14,arcsin x + x4raiz1-x^2 + C

Resposta

boxed integral x,arcsin x,dx = 2x^2 - 14,arcsin x + x4raiz1-x^2 + C

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