Determine os valores de r para os quais a equação diferencial tem uma solução da forma y(t)=e^r t.
y^prime prime prime-y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de r tais que
y(t)=e^r t
é solução da equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'''-y=0
O método envolve substituir y=e^rt na EDO e obter a equação característica.

Passo 2

Supondo y(t)=e^rt, temos
y' = r,e^rt, y'' = r^2,e^rt, y''' = r^3,e^rt
Substituindo em y'''-y=0 resulta em
r^3,e^rt - e^rt = 0 Longrightarrow e^rt(r^3 - 1) = 0
Como e^rtneq0 para todo t, segue-se a equação característica
r^3 - 1 = 0

Passo 3

A equação
r^3 - 1 = 0
pode ser fatorada como
r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) = 0
Daí:
  • Da fatoração r-1=0 obtemos r = 1
  • Da equação quadrática r^2 + r + 1 = 0 aplicamos a fórmula de Bhaskara: r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm iraiz32

Passo 4

Portanto, os valores de r que geram soluções da forma y=e^rt são
r = 1, r = -1 + iraiz32, r = -1 - iraiz32

Resposta

Os valores de r são
r = 1, r = -1 + iraiz32, r = -1 - iraiz32

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