Aplique o MEG para determinar o CONJUNTO solução S do seguinte SEL: x+2 y+3 z & =4 2 x-y+2 z & =3 x+3 y+z & =6
Indique as operações usadas em cada etapa do escalonamento e determine p e q, postos da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + 2y + 3z = 4, 2x - y + 2z = 3, x + 3y + z = 6
pelo método de eliminação de Gauss (MEG), e também determinar os postos p da matriz de coeficientes e q da matriz aumentada. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares para chegar à forma escalonada.

Passo 2

Começamos montando a matriz aumentada
e eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna:
– Operação 1: .
– Operação 2: .

Passo 3

Após essas operações a matriz fica

Passo 4

Para ter um pivô igual a 1 na segunda linha, trocamos
– Operação 3: R2rightarrow R3.

Passo 5

Agora a matriz é

Passo 6

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na segunda coluna:
– Operação 4: R3 R3+5R2.

Passo 7

Depois dessa operação obtemos
Há pivô em cada coluna até a terceira, logo o posto da matriz de coeficientes é . Como não apareceu incompatibilidade (linha nula com termo independente não nulo), o posto da matriz aumentada também é .

Passo 8

Agora fazemos substituição regressiva:
Da terceira linha:
-14,z = 5 Longrightarrow z = -514
Da segunda linha:
y - 2z = 2 Longrightarrow y = 2 + 2l(-tfrac514r) = 2 - tfrac1014 = tfrac1814 = tfrac97
Da primeira linha:
x + 2y + 3z = 4 Longrightarrow x = 4 - 2l(tfrac97r) - 3l(-tfrac514r) = 4 - tfrac187 + tfrac1514 = tfrac56 - 36 + 1514 = tfrac3514 = tfrac52

Resposta

O conjunto solução é
S = l(x,y,z) = l(tfrac52,,tfrac97,,-tfrac514r)r,
e os postos são p=3 e q=3.

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