Verifique se o
é um espaço vetorial com as seguintes operações:
Multiplicação usual e a soma
definida por:
Justifique.
Multiplicação usual e a soma
Passo 1
O enunciado propõe o conjunto
com a “adição”
e a multiplicação escalar usual
.
Para ser espaço vetorial sobre , é preciso que
Para ser espaço vetorial sobre
-
seja um grupo abeliano; - a multiplicação escalar satisfaça os axiomas (distributividade, associatividade, etc.).
Passo 2
Verificamos primeiro o grupo abeliano
:
Fechamento: para quaisquer ,
Fechamento: para quaisquer
Comutatividade:
Associatividade:
e
logo é associativa.
Neutro aditivo: deve existir tal que
para todo
.
Isto exige e
para todo
,
o que obriga . Portanto o neutro é
.
Neutro aditivo: deve existir
Isto exige
o que obriga
Passo 3
Agora, o inverso aditivo de
seria
tal que
Mas se
ou
, não existe número real que seja
ou
.
Por exemplo, não tem inverso aditivo em
.
Por exemplo,
Passo 4
Como falha a existência de inverso aditivo para todos os vetores, um dos axiomas de espaço vetorial não é satisfeito.