Verifique se o R^2 é um espaço vetorial com as seguintes operações:
Multiplicação usual e a soma oplus definida por: (a, b) oplus(x, y)=(a x, b y), forall(a, b) e(x, y) in R^2 Justifique.

Passo 1

O enunciado propõe o conjunto R^2 com a “adição”
(a,b)oplus(x,y) = (a,x,;b,y)
e a multiplicação escalar usual
lambdacdot(a,b)=(lambda a,;lambda b).
Para ser espaço vetorial sobre R, é preciso que
  1. (R^2,oplus) seja um grupo abeliano;
  2. a multiplicação escalar satisfaça os axiomas (distributividade, associatividade, etc.).

Passo 2

Verificamos primeiro o grupo abeliano (R^2,oplus):
Fechamento: para quaisquer (a,b),(x,y)inR^2,
(a,b)oplus(x,y)=(a,x,;b,y)inR^2
Comutatividade:
(a,b)oplus(x,y)=(a,x,;b,y)=(x,a,;y,b)=(x,y)oplus(a,b)
Associatividade:
l((a,b)oplus(c,d)r)oplus(x,y) =(a,c,;b,d)oplus(x,y) =(a,c,x,;b,d,y)
e
(a,b)oplusl((c,d)oplus(x,y)r) =(a,b)oplus(c,x,;d,y) =(a,c,x,;b,d,y),
logo é associativa.
Neutro aditivo: deve existir (e1,e2) tal que
(a,b)oplus(e1,e2)=(a,b) para todo (a,b).
Isto exige a,e1=a e b,e2=b para todo a,b,
o que obriga e1=e2=1. Portanto o neutro é (1,1).

Passo 3

Agora, o inverso aditivo de (a,b) seria (u,v) tal que
(a,b)oplus(u,v)=(1,1);Longrightarrow;(a,u,;b,v)=(1,1) ;Longrightarrow;u=tfrac1a,;v=tfrac1b
Mas se a=0 ou b=0, não existe número real que seja tfrac1a ou tfrac1b.
Por exemplo, (0,1) não tem inverso aditivo em (R^2,oplus).

Passo 4

Como falha a existência de inverso aditivo para todos os vetores, um dos axiomas de espaço vetorial não é satisfeito.

Resposta

R^2 com a soma oplus dada por (a,b)oplus(x,y)=(a,x,b,y) e multiplicação escalar usual não é um espaço vetorial.

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