Determine uma equação para o plano pi que contém o ponto P(-1,2,4) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos R(2,-1,3) e S(8,7,-2). Justificar.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano pi que passa por P(-1,2,4) e é perpendicular à reta que passa por R(2,-1,3) e S(8,7,-2).
Conteúdo: geometria analítica no espaço. Vamos usar que um plano é perpendicular a uma reta quando seu vetor normal é paralelo ao vetor diretor da reta.

Passo 2

Calculamos o vetor diretor da reta RS como
RS=S-R=(8-2,;7-(-1),;-2-3)=(6,8,-5)

Passo 3

Como o plano pi é perpendicular à reta RS, esse vetor diretor é um vetor normal n ao plano. Logo
n=(6,8,-5)

Passo 4

A forma vetorial da equação do plano com normal n=(a,b,c) que passa por P(x0,y0,z0) é
ncdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Aqui a=6, b=8, c=-5 e (x0,y0,z0)=(-1,2,4).

Passo 5

Substituindo em
6(x+1)+8(y-2)-5(z-4)=0
e expandindo:
;6x+6+8y-16-5z+20=0
;Longrightarrow6x+8y-5z+10=0

Resposta

A equação do plano pi é
6x + 8y - 5z + 10 = 0

Exercícios relacionados