Responda V, caso a sentença seja verdadeira, ou F, caso seja falsa:
( ) O espaço gerado pelos vetores u=(-3,2) e v=(1,-23) é o R^2.
Justificar cada item em outra folha

Passo 1

O enunciado pergunta se o espaço gerado pelos vetores
u = (-3,2) e v = l(1,-tfrac23r)
é todo R^2. O conteúdo envolvido é subespaços gerados em espaços vetoriais, mais precisamente precisamos verificar se u e v são linearmente independentes em R^2. Se forem independentes, geram R^2; se não, geram apenas uma reta (dimensão 1).

Passo 2

Vamos testar se existe lambdainR tal que
v = lambda,u
Pelas componentes, exigimos
lambdacdot(-3)=1 Longrightarrow lambda = -tfrac13,
e então
lambdacdot2 = -tfrac13cdot2 = -tfrac23,
que é exatamente a segunda componente de v. Portanto
v = -tfrac13,u,
logo u e v são linearmente dependentes.

Passo 3

Como u e v são dependentes, o espaço spanu,v tem dimensão 1 (é uma reta em R^2), e não toda a dimensão 2 de R^2. Assim, eles não geram R^2.

Resposta

F

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