Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
x1^prime=6 x1-7 x2
x2^prime=x1-2 x2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de autovalores, o sistema
x1' = 6x1 - 7x2, x2' = x1 - 2x2,
ou seja, encontrar a solução geral de x'=Ax com
A = 6 & -7 1 & -2

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det6-lambda & -7 1 & -2-lambda = (6-lambda)(-2-lambda) - (-7)cdot1
Expandindo,
(6-lambda)(-2-lambda)+7 = -12 -6lambda +2lambda +lambda^2 +7 = lambda^2 -4lambda -5

Passo 3

Resolvendo a equação característica
lambda^2 -4lambda -5 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara e obtemos
lambda = 4 pm raiz16 +202 = 4 pm 62,
logo os autovalores são
lambda1 = 5, lambda2 = -1

Passo 4

Agora encontramos um autovetor para cada autovalor:
Para lambda1=5, resolvemos (A-5I)v=0:
1 & -7 1 & -7 v1 v2 =0 ;Longrightarrow; v1-7v2=0 ;Longrightarrow; v1=7v2
Escolhendo v2=1, um autovetor é
v^(1) = 7 1
Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0:
7 & -7 1 & -1 v1 v2 =0 ;Longrightarrow; 7v1-7v2=0 ;Longrightarrow; v1=v2
Escolhendo v2=1, um autovetor é
v^(2) = 1 1

Passo 5

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
x(t) = C1e^lambda1tv^(1) + C2e^lambda2tv^(2),
ou seja
x(t) = C1e^5t71 + C2e^-t11
Em coordenadas:
x1(t) = 7C1e^5t + C2e^-t, x2(t) = C1e^5t + C2e^-t

Resposta

A solução geral é
boxed x1(t) x2(t) = C1e^5t7 1 + C2e^-t1 1
Os constantes C1 e C2 são determinados pelas condições iniciais, caso sejam fornecidas.

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