Use o frações parciais para encontrar a transformada inversa:
F(s)=1s^4-16

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=1s^4-16
isso é, queremos f(t)=L^-1F(s)(t).
O conteúdo principal aqui é decompor em frações parciais e usar fórmulas conhecidas de transformada inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^4-16 = (s^2-4)(s^2+4) = (s-2)(s+2)(s^2+4)
Logo supomos a decomposição
1s^4-16 = As-2 + Bs+2 + Cs+Ds^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (s-2)(s+2)(s^2+4), obtemos
1 = A,(s+2)(s^2+4) + B,(s-2)(s^2+4) + (Cs+D)(s^2-4)
Para achar A e B usamos as raízes simples:
— Em s=2:
1 = A,(2+2)(2^2+4) = Acdot 4cdot8 = 32,A Longrightarrow A=132
— Em s=-2:
1 = B,(-2-2)((-2)^2+4) = Bcdot(-4)cdot8 = -32,B Longrightarrow B=-132

Passo 4

Agora completamos com
obtemos o sistema
Substituindo resulta em

Passo 5

Assim a decomposição final é
1s^4-16 = 1/32s-2 ;-;1/32s+2 ;-;1/8s^2+4

Passo 6

Usamos que
L^-1ltfrac1s!-!2r(t)=e^2t, L^-1ltfrac1s+2r(t)=e^-2t, L^-1ltfrac1s^2+4r(t)=tfrac12sin(2t)
Logo
f(t) = 132e^2t -132e^-2t -18,12sin(2t) = 132l(e^2t-e^-2tr) -116sin(2t)

Resposta

f(t) = 132l(e^2t-e^-2tr);-;116sin(2t)

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