Use o frações parciais para encontrar a transformada inversa:
F(s)=5-2 ss^2+7 s+10

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s) = 5 - 2ss^2 + 7s + 10
Usaremos frações parciais para decompor F(s) em termos de razões simples cujas transformadas inversas conhecemos (tabelas de Laplace, por exemplo L^-1tfrac1s+a=e^-at).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador quadrático:
s^2 + 7s + 10 = (s+2)(s+5)
Logo podemos escrever
F(s) = 5 - 2s(s+2)(s+5)

Passo 3

Assumimos a forma de frações parciais
5 - 2s(s+2)(s+5) = As+2 + Bs+5
Para encontrar A e B, escrevemos
5 - 2s = A(s+5) + B(s+2)

Passo 4

Expandindo a soma no numerador:
Comparando coeficientes de
Resolvendo, de . Substituindo em :
e então .

Passo 5

Substituindo A=3 e B=-5 na decomposição:
F(s) = 3s+2 - 5s+5

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa termo a termo usando
L^-1tfrac1s+a=e^-at:
L^-1!3s+2 = 3e^-2t, L^-1!5s+5 = 5e^-5t
Como há sinal negativo em -tfrac5s+5, obtemos -5e^-5t.

Passo 7

Somando os dois resultados, a transformada inversa de F(s) é
f(t) = 3e^-2t - 5e^-5t

Resposta

f(t) = 3e^-2t - 5e^-5t

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