Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e (c) o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido limitado pelo paraboloide x=4 y^2+4 z^2 e pelo plano x=4 com função densidade rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
18. Determine o valor médio da função f(x, y, z)=x+y+z sobre o tetraedro com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e ( 0,0,1 ).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a–c) queremos esboçar e usar integrais triplas para o sólido
V=(x,y,z)mid 4y^2+4z^2<= x<=4
com densidade rho(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. Precisamos escrever, mas não avaliar, as expressões triplas para
(a) a massa M,
(b) as coordenadas do centro de massa (bar x,bar y,bar z),
(c) o momento de inércia Iz em relação ao eixo z.
Na segunda parte (questão 18) queremos o valor médio de f(x,y,z)=x+y+z sobre o tetraedro
T=(x,y,z)mid x>=0,;y>=0,;z>=0,;x+y+z<=1

Passo 2

Para o sólido de parte (a–c) é conveniente usar coordenadas cilíndricas no plano yz:
y=rcostheta, z=rsintheta, x=x,
com jacobiano dV=r,dx,dr,dtheta. A região torna-se
0<=theta<=2pi, 0<= r<=1, 4r^2<= x<=4,
pois 4y^2+4z^2=4r^2<= x<=4.

Passo 3

A massa é
M=integral triplaV rho,dV =integraltheta=0^2pi!integralr=0^1!integralx=4r^2^4l(x^2+r^2r),r,dx,dr,dtheta

Passo 4

As coordenadas do centro de massa são
bar x=1Mintegral triplaV x,rho,dV, bar y=1Mintegral triplaV y,rho,dV, bar z=1Mintegral triplaV z,rho,dV
Em coordenadas cilíndricas:
integral triplaV x,rho,dV =integral0^2pi!integral0^1!integral4r^2^4xl(x^2+r^2r),r,dx,dr,dtheta,
integral triplaV y,rho,dV =integral0^2pi!integral0^1!integral4r^2^4(rcostheta)l(x^2+r^2r),r,dx,dr,dtheta,
integral triplaV z,rho,dV =integral0^2pi!integral0^1!integral4r^2^4(rsintheta)l(x^2+r^2r),r,dx,dr,dtheta
Por simetria em theta nota-se que bar y=bar z=0.

Passo 5

O momento de inércia em relação ao eixo z é
Iz=integral triplaV d^2,rho,dV,
onde d^2=x^2+y^2 é o quadrado da distância ao eixo z. Em coordenadas cilíndricas:
Iz =integral0^2pi!integral0^1!integral4r^2^4l(x^2+(rcostheta)^2r)l(x^2+r^2r),r,dx,dr,dtheta

Passo 6

Agora a parte 18: o tetraedro tem volume
O valor médio de é

Passo 7

Calculemos integral triplaT x,dV. Primeiro
integralz=0^1-x-yx,dz =x(1-x-y),
depois
integraly=0^1-xx(1-x-y),dy =xl[(1-x)y-tfrac12y^2r]0^1-x =x(1-x)^22,
e finalmente
integralx=0^1x(1-x)^22,dx =12integral0^1l(x-2x^2+x^3r),dx =124
Por simetria integral triplaT y,dV=integral triplaT z,dV=tfrac124, logo
integral triplaT (x+y+z),dV =3cdottfrac124 =tfrac18

Passo 8

Logo o valor médio é

Resposta

(a)
(b)
(c)
Questão 18: o valor médio de no tetraedro é

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