Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada:
Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e (c) o momento de inércia em relação ao eixo
do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
com função densidade
18. Determine o valor médio da função
sobre o tetraedro com vértices
e (
).
Determine, mas não calcule, expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa, e (c) o momento de inércia em relação ao eixo
18. Determine o valor médio da função
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a–c) queremos esboçar e usar integrais triplas para o sólido
com densidade
. Precisamos escrever, mas não avaliar, as expressões triplas para
(a) a massa ,
(b) as coordenadas do centro de massa ,
(c) o momento de inércia em relação ao eixo
.
Na segunda parte (questão 18) queremos o valor médio de sobre o tetraedro
(a) a massa
(b) as coordenadas do centro de massa
(c) o momento de inércia
Na segunda parte (questão 18) queremos o valor médio de
Passo 2
Para o sólido de parte (a–c) é conveniente usar coordenadas cilíndricas no plano
:
com jacobiano
. A região torna-se
pois
.
Passo 3
A massa é
Passo 4
As coordenadas do centro de massa são
Em coordenadas cilíndricas:
Por simetria em
nota-se que
.
Passo 5
O momento de inércia em relação ao eixo
é
onde
é o quadrado da distância ao eixo
. Em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Agora a parte 18: o tetraedro
tem volume
O valor médio de
é
Passo 7
Calculemos
. Primeiro
depois
e finalmente
Por simetria
, logo
Passo 8
Logo o valor médio é
Resposta
(a)
(b)
(c)
Questão 18: o valor médio de
no tetraedro é