Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
x1^prime=2 x1-5 x2
x2^prime=4 x1-2 x2
x1(0)=2, x2(0)=3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
x1' = 2x1 - 5x2, x2' = 4x1 - 2x2,
e pede a solução geral pelo método de autovalores e, se x1(0)=2, x2(0)=3, a solução particular. Vamos então (1) encontrar autovalores e autovetores de
A = 2 & -5[6pt]4 & -2,
(2) escrever a solução geral em termos reais e (3) impor as condições iniciais.]

Passo 2

Calculamos os autovalores de A resolvendo
det(A - lambda I) = det!2-lambda & -5[3pt]4 & -2-lambda = (2-lambda)(-2-lambda)-(-5)cdot4 = lambda^2+16 =0
Logo
lambda = pm 4,i
]

Passo 3

Para resolvemos ,
Escolhendo vem . Assim um autovetor é
A solução complexa é . Para obtermos a forma real, escrevemos
As partes real e imaginária dão duas soluções reais independentes.])

Passo 4

Extraímos as duas soluções reais:
X1(t)=Rel(v,e^4i tr) =5cos4t[3pt]2cos4t+4sin4t, X2(t)=Iml(v,e^4i tr) =5sin4t[3pt]2sin4t-4cos4t
Logo a solução geral é
x(t)=C1,X1(t)+C2,X2(t)
]

Passo 5

Impondo x(0)=(2,3)^T temos
x(0)=C152 +C20-4 =23
Do primeiro componente 5C1=2 segue C1=2/5. Do segundo
2,C1-4,C2=3 ;Longrightarrow; 2cdot25-4C2=3 ;Longrightarrow; -;4C2=115 ;Longrightarrow; C2=-1120

Passo 6

Substituindo em x(t)=C1X1(t)+C2X2(t) obtemos a solução particular:
x1(t) =2cos4t-114sin4t, x2(t) =3cos4t+12sin4t
Assim, a solução geral e a particular (com as constantes ajustadas) estão determinadas.

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1 5cos4t[3pt]2cos4t+4sin4t + C2 5sin4t[3pt]2sin4t-4cos4t
A solução que satisfaz x1(0)=2, x2(0)=3 é
x1(t)=2cos4t-114sin4t, x2(t)=3cos4t+12sin4t
]

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