Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de coeficientes constantes
e pede a solução geral pelo método de autovalores e, se
,
, a solução particular. Vamos então
encontrar autovalores e autovetores de
Passo 2
Calculamos os autovalores de
resolvendo
Logo
]
Passo 3
Para
resolvemos
,
Escolhendo
vem
. Assim um autovetor é
A solução complexa é
. Para obtermos a forma real, escrevemos
As partes real e imaginária dão duas soluções reais independentes.])
Passo 4
Extraímos as duas soluções reais:
Logo a solução geral é
]
Passo 5
Impondo
temos
Do primeiro componente
segue
. Do segundo
Passo 6
Substituindo em
obtemos a solução particular:
Assim, a solução geral e a particular (com as constantes ajustadas) estão determinadas.
Resposta
A solução geral é
A solução que satisfaz
,
é
]