Considere .
a) Encontre uma matriz na forma escada linha equivalente a A.
b) Quais são as variáveis livres e as pivotais de A x=0 ?
c) Encontre as soluções canônicas de A x=0.
d) Determine a solução geral de A x=0.
e) Encontre uma solução s de A x=0 tal que s2=1, s4=0 e s5=0.
f) Existe solução s de A x=0 tal que s3=1, s4=1 e s5=1 ?
g) Existe solução s de A x=0 tal que s1=1, s4=0 e s5=0 ?
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar o sistema homogêneo Ax=0 onde A é uma matriz 3×5. Vamos precisar de eliminação de Gauss para levar A a uma forma escada linha (REF), identificar variáveis pivotais e livres, achar vetores canônicos da solução nula, escrever a solução geral e responder a perguntas sobre soluções específicas.
Passo 2
Aplicamos as seguintes operações em A: primeiro R₂→R₂−2R₁ e R₃→R₃+R₁, obtendo
[1\ 3\ 0\ 2\ 1]
[0\ 0\ −1\ −3\ −2]
[0\ 0\ −1\ −1\ −1],
em seguida R₃→R₃−R₂ e depois escalonamos as linhas-pivô (multiplicando R₂ por −1 e R₃ por ½) para chegar em
[1\ 3\ 0\ 2\ 1]
[0\ 0\ 1\ 3\ 2]
[0\ 0\ 0\ 1\ ½].
Logo, uma forma escada linha equivalente é
[1 & 3 & 0 & 2 & 1]
[0 & 0 & 1 & 3 & 2]
[0 & 0 & 0 & 1 & ½]
Passo 3
As colunas-pivô são 1, 3 e 4, então x₁, x₃, x₄ são pivotais; as colunas 2 e 5 não têm pivô, logo x₂ e x₅ são livres.
Passo 4
Para achar as soluções canônicas, damos a cada variável livre o valor 1 (e à outra 0) e resolvemos de cima para baixo. Se x₂=1, x₅=0: x₄=0, x₃=0 e x₁=−3, gerando v₁=(−3,1,0,0,0). Se x₂=0, x₅=1: x₄=−½, x₃=−½ e x₁=0, gerando v₂=(0,0,−½,−½,1).
Passo 5
A solução geral é x=x₂·(−3,1,0,0,0)+x₅·(0,0,−½,−½,1), com parâmetros livres x₂,x₅∈ℝ.
Passo 6
Para (e), impomos x₂=1,x₅=0: isso dá s=(−3,1,0,0,0).
Passo 7
Para (f), se quiséssemos x₃=1,x₄=1,x₅=1, a terceira linha diz 2·x₄+x₅=0 ⇒2·1+1≠0. Não há solução.
Passo 8
Para (g), impondo x₁=1,x₄=0,x₅=0, da primeira linha vem 1+3x₂=0 ⇒x₂=−1/3; da segunda x₃=0; a terceira fica satisfeita. Há solução s=(1,−1/3,0,0,0).