Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
x1^prime=x1-2 x2
x2^prime=2 x1+x2
x1(0)=0, x2(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x1' = x1 - 2x2, x2' = 2x1 + x2,
com condições iniciais x1(0)=0, x2(0)=4. O conteúdo é resolver sistemas lineares x' = Ax pelo método de autovalores: vamos achar autovalores de A, seus autovetores, construir as soluções e impor as condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos a matriz
A = 1 & -2[6pt] 2 & 1
e calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) = det!1-lambda & -2[3pt] 2 & 1-lambda = (1-lambda)^2 + 4 = 0
Logo
lambda^2 - 2lambda +5 = 0 Longrightarrow lambda = 1 pm 2i ]

Passo 3

Tomemos lambda1=1+2i e resolvemos
(A - lambda1I)v = 0 ;Longrightarrow; -2i & -2[3pt] 2 & -2i v1[3pt] v2 = 0
Da primeira linha vem -2i,v1-2,v2=0, isto é v2=-i,v1. Escolhemos o autovetor
v = 1[3pt] -i ]

Passo 4

A solução complexa associada é
e^lambda1t,v = e^(1+2i)t 1[3pt] -i = e^te^2i t 1[3pt] -i
Escrevendo e^2i t = cos2t + isin2t e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes:
f1(t)=e^tcos2t[3pt] sin2t, f2(t)=e^tsin2t[3pt] -cos2t ]

Passo 5

Portanto, a solução geral real é
x(t) = C1,f1(t) + C2,f2(t) = C1,e^tcos2t[3pt] sin2t + C2,e^tsin2t[3pt] -cos2t ]

Passo 6

Impondo x(0)=(0,4)^T temos
x(0) = C11[3pt] 0 + C20[3pt] -1 = C1[3pt] -C2 = 0[3pt] 4
Daí C1=0 e -C2=4, ou seja C2=-4.]

Passo 7

Substituindo os constantes na solução geral, obtemos a solução particular
x(t) = -4,e^tsin2t[3pt] -cos2t = -4,e^tsin2t[6pt] 4,e^tcos2t ]

Resposta

boxed x1(t) = -4,e^tsin2t, x2(t) = 4,e^tcos2t

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