Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
x1^prime=7 x1-5 x2
x2^prime=4 x1+3 x2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
x1' = 7x1 - 5x2, x2' = 4x1 + 3x2,
usando o método de autovalores e autovetores. Vamos achar primeiro os autovalores de A, depois um autovetor complexo e, por fim, construir a solução real a partir das partes real e imaginária.

Passo 2

O coeficiente matricial é
A = 7 & -5 [6pt]4 & 3
O polinômio característico vem de det(A-lambda I)=0:
detl(A-lambda Ir) =(7-lambda)(3-lambda)+20 =lambda^2-10lambda+41 =0,
cuja solução é
lambda = 10pmraiz100-1642 =5pm4i ]

Passo 3

Para resolvemos
Da primeira linha . Tomando temos
Logo um autovetor é
]

Passo 4

Pela teoria, se lambda=a+bi com vetor próprio v=alpha+ibeta, duas soluções reais fundamentais são
x^(1)(t)=e^atl(alphacos bt-betasin btr), x^(2)(t)=e^atl(alphasin bt+betacos btr)
Aqui a=5 e b=4, então
x^(1)(t)=e^5t tfrac12cos4t-sin4t[3pt] cos4t , x^(2)(t)=e^5t cos4t+tfrac12sin4t[3pt] sin4t ]

Passo 5

A solução geral do sistema é a combinação linear
x(t)=C1,x^(1)(t)+C2,x^(2)(t)
Escrevendo em componentes,
x1(t) = C1,e^5tl(tfrac12cos4t-sin4tr) + C2,e^5tl(cos4t+tfrac12sin4tr),
x2(t) = C1,e^5tcos4t + C2,e^5tsin4t

Resposta

Se fossem dadas condições iniciais
e resolver para (C_{1},C_{2}].

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