Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
usando o método de autovalores e autovetores. Vamos achar primeiro os autovalores de
, depois um autovetor complexo e, por fim, construir a solução real a partir das partes real e imaginária.
Passo 2
O coeficiente matricial é
O polinômio característico vem de
:
cuja solução é
Passo 3
Para
resolvemos
Da primeira linha
. Tomando
temos
Logo um autovetor é
Passo 4
Pela teoria, se
com vetor próprio
, duas soluções reais fundamentais são
Aqui
e
, então
Passo 5
A solução geral do sistema é a combinação linear
Escrevendo em componentes,
Resposta
Se fossem dadas condições iniciais
e resolver para (C_{1},C_{2}].