Considere A=(ccccc1 & 3 & 1 & 2 & 1 2 & 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 & 2 & 1) e b=(l1 0 1).
a) Encontre o posto de A e determine quais são as variáveis livres e as pivotais de A x=b.
b) Encontre as soluções canônicas de A x=0 e determine sua solução geral.
c) Encontre uma solução particular de A x=b.
d) Encontre a solução geral de A x=b.
e) Existe solução s de A x=b tal que s4=1 e s5=2 ?
f) Existe solução s de A x=b tal que s2=s3=s4=s5 ?

Passo 1

Nesse exercício temos a matriz Ain R^3times5 e o vetor bin R^3, e vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto de A, identificar variáveis pivotais e livres, achar a solução do sistema homogêneo, uma solução particular de Ax=b e, por fim, verificar condições extras de existência de soluções.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [A|b] e aplicamos operações de linha até chegar à forma reduzida: substituindo R2 R2-2R1, R3 R3+R1, depois pivoteando em a22 e em a33, obtemos
1 & 0 & 0 & -tfrac94 & -tfrac32 & | & -tfrac32 0 & 1 & 0 & tfrac32 & 1 & | & 1 0 & 0 & 1 & -tfrac14 & -tfrac12 & | & -tfrac12

Passo 3

Da forma reduzida vemos que há três pivôs (colunas 1, 2 e 3), logo posto(A)=3. Como n=5, há duas variáveis livres ( x4,x5) e três pivotais ( x1,x2,x3).

Passo 4

Para o sistema homogêneo Ax=0, escrevemos as equações:
x3 - tfrac14x4 - tfrac12x5 = 0, x2 + tfrac32x4 + x5 = 0, x1 - tfrac94x4 - tfrac32x5 = 0
Definindo s=x4 e t=x5, obtemos as soluções canônicas do núcleo:
v1=9/4-3/21/410, v2=3/2-11/201,
então a solução geral de Ax=0 é x=s,v1+t,v2 com s,tin R.

Passo 5

Para uma solução particular de Ax=b, tomamos x4=x5=0 na forma reduzida e lemos
x3=-tfrac12, x2=1, x1=-tfrac32,
logo
xp=-3/21-1/200
A solução geral de Ax=b é
x = xp + s,v1 + t,v2

Passo 6

Para (e), impomos x4=s=1 e x5=t=2. Isso é perfeitamente possível e gera uma solução de Ax=b.

Passo 7

Para (f), pedem x2=x3=x4=x5=alpha. Como x4=s=alpha e x5=t=alpha, a equação para x2 1-tfrac52alpha=alpha e a de x3 -tfrac12+tfrac34alpha=alpha. Essas duas condições contraditórias não se satisfazem simultaneamente, logo não existe tal solução.

Resposta

a) posto(A)=3; variáveis pivotais: x1,x2,x3; livres: x4,x5.
b) Soluções canônicas:
v1=9/4-3/21/410, v2=3/2-11/201
Solução geral de Ax=0: x=s,v1+t,v2.
c) Solução particular de Ax=b:
xp=-3/21-1/200
d) Solução geral de Ax=b: x=xp + s,v1+t,v2.
e) Sim, basta escolher x4=1 e x5=2 na solução geral.
f) Não existe solução com x2=x3=x4=x5.

Exercícios relacionados