A derivada da função definida por
é dada por
.
Assim sendo, os intervalos em que o gráfico da função
tem sua concavidade voltada para cima são
Escolha uma opção:
]
]
Assim sendo, os intervalos em que o gráfico da função
]
]
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos a função
e já nos passaram a derivada primeira
e já nos passaram a derivada primeira
O que precisamos é descobrir onde o gráfico de
está côncavo para cima, ou seja, onde a segunda derivada
é positiva. Para isso vamos precisar de:
- Regra do quociente (para derivar
). - Regra da cadeia (para derivar
). - Noções de sinais de potências de
.
Passo 2
Primeiro, lembrando que “côncavo para cima” significa
.
Escrevemos
Escrevemos
Chamo
e
.
-
. - Para
, uso a regra da cadeia:
Agora a regra do quociente diz
Passo 3
Vamos simplificar o numerador:
O denominador é
Logo
Logo
Passo 4
Agora, para saber onde
, olhamos o sinal de
.
Como tem o mesmo sinal de
(raízes ímpares mantêm o sinal), então
Como
Bastam três intervalos:
- Se
, aí e ⇒ divisão positiva ⇒ concavo pra cima. - Se
, aí e ⇒ divisão negativa ⇒ concavo pra baixo. - Se
, aí e ⇒ divisão positiva ⇒ concavo pra cima.
Resposta
Os intervalos em que
é côncava para cima são