A derivada da função definida por f(x)=x^1 / 3 cdot(x+8) é dada por f^prime(x)=4(x+2)3 raiz[3]x^2.
Assim sendo, os intervalos em que o gráfico da função f tem sua concavidade voltada para cima são
Escolha uma opção:
]-infty, 0[e] 4,+infty[
]-infty,-8 e] 0,+infty[
] -8,+infty[
]-infty,-4 e] 0,+infty[
] 4,+infty[

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos a função
f(x)=x^1/3,(x+8)
e já nos passaram a derivada primeira
f'(x)=4(x+2)3raiz[3]x^2
O que precisamos é descobrir onde o gráfico de f está côncavo para cima, ou seja, onde a segunda derivada f''(x) é positiva. Para isso vamos precisar de:
  • Regra do quociente (para derivar f'(x)).
  • Regra da cadeia (para derivar x^2/3).
  • Noções de sinais de potências de x.

Passo 2

Primeiro, lembrando que “côncavo para cima” significa f''(x)>0.
Escrevemos
f'(x)=4(x+2)3,x^2/3
Chamo u(x)=4(x+2) e v(x)=3,x^2/3.
  • u'(x)=4.
  • Para v'(x), uso a regra da cadeia:
v(x)=3,x^2/3 Longrightarrow v'(x)=3cdot23,x^2/3-1 =2,x^-1/3
Agora a regra do quociente diz
f''(x) =u'v - u,v'v^2 =4cdotl(3x^2/3r);-;4(x+2)cdotl(2x^-1/3r) l(3x^2/3r)^2

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
4cdot3x^2/3-8(x+2)x^-1/3 =12x^2/3-8x^ -1/3(x+2) =4x^-1/3l(3x-2(x+2)r) =4x^-1/3(x-4)
O denominador é
l(3x^2/3r)^2=9,x^4/3
Logo
f''(x) =4x^-1/3(x-4)9,x^4/3 =4(x-4)9,x^5/3

Passo 4

Agora, para saber onde f''(x)>0, olhamos o sinal de
x-4x^5/3.
Como x^5/3 tem o mesmo sinal de x (raízes ímpares mantêm o sinal), então
x-4x^5/3>0 Long<=ftrightarrow x-4x>0
Bastam três intervalos:
  • Se x<0, aí (x-4)<0 e x<0 ⇒ divisão positiva ⇒ concavo pra cima.
  • Se 0<x<4, aí (x-4)<0 e x>0 ⇒ divisão negativa ⇒ concavo pra baixo.
  • Se x>4, aí (x-4)>0 e x>0 ⇒ divisão positiva ⇒ concavo pra cima.

Resposta

Os intervalos em que f é côncava para cima são
]-infty,0[;e;]4,+infty[

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