V ou F:
( ) Se
e
, para todo
, então
.
( ) Toda combinação linear de soluções de
é também uma solução.
( ) Se
e
, então a forma escada reduzida de
é a mesma de
.
( ) Se
e
, para algum
, então
não é inversível.
( ) Se
( ) Toda combinação linear de soluções de
( ) Se
( ) Se
Passo 1
O enunciado traz quatro afirmações sobre matrizes e sistemas lineares. O conteúdo envolve núcleo de matrizes, combinação de soluções de sistemas não homogêneos, posto completo e forma escada reduzida, e relação entre autovalores e invertibilidade.
Passo 2
Para a primeira afirmação, se A está em
e A x =
para todo x em
, então todas as colunas de A são
, onde e_j são os vetores da base canônica. Logo, todas as colunas são nulas e A é a matriz zero. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Na segunda afirmação, diz-se que toda combinação linear de soluções de A x = b é solução. Se x₁ e x₂ satisfazem A x = b, então A(α x₁ + β x₂) = α b + β b = (α + β)b, que só é igual a b se α + β = 1. Como a combinação linear geral não exige α+β=1, nem sempre resulta em uma solução. Logo a afirmação é falsa.
Passo 4
Para a terceira afirmação, quando A é
e posto(A) = n, A é invertível. A forma escada reduzida de uma matriz invertível é sempre a identidade I_n. Como A^t também é invertível e sua forma escada reduzida também é I_n, as duas formas coincidem. Assim a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Na quarta afirmação, A x = 2x com x ≠ 0 significa que 2 é autovalor de A. Então det(A - 2I) = 0, o que implica que A - 2I não é inversível. Logo a afirmação é verdadeira.
Resposta
(V), (F), (V), (V)