V ou F:
( ) Se A in Mm times n e A x=0, para todo x in R^n, então A=0.
( ) Toda combinação linear de soluções de A x=b é também uma solução.
( ) Se A in Mn times n e posto(A)=n, então a forma escada reduzida de A é a mesma de A^t.
( ) Se A in M3 times 3 e A x=2 x, para algum x in R^3-0, então A-2 I não é inversível.

Passo 1

O enunciado traz quatro afirmações sobre matrizes e sistemas lineares. O conteúdo envolve núcleo de matrizes, combinação de soluções de sistemas não homogêneos, posto completo e forma escada reduzida, e relação entre autovalores e invertibilidade.

Passo 2

Para a primeira afirmação, se A está em Mm times n e A x = 0 para todo x em R^n, então todas as colunas de A são A ej = 0, onde e_j são os vetores da base canônica. Logo, todas as colunas são nulas e A é a matriz zero. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Na segunda afirmação, diz-se que toda combinação linear de soluções de A x = b é solução. Se x₁ e x₂ satisfazem A x = b, então A(α x₁ + β x₂) = α b + β b = (α + β)b, que só é igual a b se α + β = 1. Como a combinação linear geral não exige α+β=1, nem sempre resulta em uma solução. Logo a afirmação é falsa.

Passo 4

Para a terceira afirmação, quando A é n times n e posto(A) = n, A é invertível. A forma escada reduzida de uma matriz invertível é sempre a identidade I_n. Como A^t também é invertível e sua forma escada reduzida também é I_n, as duas formas coincidem. Assim a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Na quarta afirmação, A x = 2x com x ≠ 0 significa que 2 é autovalor de A. Então det(A - 2I) = 0, o que implica que A - 2I não é inversível. Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

(V), (F), (V), (V)

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