Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
e pede a solução geral pelo método de autovalores. Vamos montar a matriz de coeficientes
Como as linhas 1 e 3 de A são iguais, observa-se que lambda=0 é raiz. Dividindo o polinômio característico por lambda, sobra o determinante de uma matriz 2times2 equivalente que leva ao polinômio
lambda^2 -15lambda +54=0,
cuja solução é
lambda=6oulambda=9
Passo 3
Para
que leva a . Um autovetor correspondente é
Passo 4
Para lambda=6 resolvemos (A-6I)v=0, i.e.
-2 & 1 & 4 1 & 1 & 1 4 & 1 & -2 !v=0,
que dá x3=x1 e x2=-2x1. Tomando x1=1, obtemos
v2=(1,-2,1)
Para lambda=9 resolvemos (A-9I)v=0, i.e.
-5 & 1 & 4 1 & -2 & 1 4 & 1 & -5 !v=0,
que leva a x3=x1 e x2=x1. Tomando x1=1, obtemos
v3=(1,1,1)
Passo 5
Como os três autovetores são linearmente independentes, a solução geral do sistema é