Aplique o método de autovalores para encontrar a solução geral dos sistemas abaixo. Se os valores iniciais forem dados, encontre também a solução particular.
x1^prime=4 x1+x2+4 x3
x2^prime=x1+7 x2+x3
x3^prime=4 x1+x2+4 x3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
x1'=4x1+x2+4x3, x2'=x1+7x2+x3, x3'=4x1+x2+4x3,
e pede a solução geral pelo método de autovalores. Vamos montar a matriz de coeficientes
A= 4 & 1 & 4 1 & 7 & 1 4 & 1 & 4
e encontrar seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Para achar os autovalores resolvemos
det(A-lambda I) =det 4-lambda & 1 & 4 1 & 7-lambda & 1 4 & 1 & 4-lambda =0
Como as linhas 1 e 3 de A são iguais, observa-se que lambda=0 é raiz. Dividindo o polinômio característico por lambda, sobra o determinante de uma matriz 2times2 equivalente que leva ao polinômio
lambda^2 -15lambda +54=0,
cuja solução é
lambda=6oulambda=9

Passo 3

Para
que leva a . Um autovetor correspondente é

Passo 4

Para lambda=6 resolvemos (A-6I)v=0, i.e.
-2 & 1 & 4 1 & 1 & 1 4 & 1 & -2 !v=0,
que dá x3=x1 e x2=-2x1. Tomando x1=1, obtemos
v2=(1,-2,1)
Para lambda=9 resolvemos (A-9I)v=0, i.e.
-5 & 1 & 4 1 & -2 & 1 4 & 1 & -5 !v=0,
que leva a x3=x1 e x2=x1. Tomando x1=1, obtemos
v3=(1,1,1)

Passo 5

Como os três autovetores são linearmente independentes, a solução geral do sistema é
x(t) =C1,v1 e^0t +C2,v2 e^6t +C3,v3 e^9t
Substituindo cada vi, escrevemos
x(t) =C110-1 +C21-21e^6t +C3111e^9t

Resposta

x(t) =C110-1 +C21-21e^6t +C3111e^9t,
que é a solução geral do sistema.

Exercícios relacionados