Considere A=(ccccc1 & 2 & 2 & 3 & -1 2 & 1 & 1 & 1 & 0), B=(cc1 & 2 2 & 1 2 & 1 3 & 1 -1 & 0) e C=(ccc1 & 1 & 1 -1 & 0 & -1 0 & 0 & 1).
Encontre duas inversas pela direita para A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & 2 & 3 & -1 2 & 1 & 1 & 1 & 0
e pede duas matrizes XinR^5times2 tais que
A,X = I2
Estamos em um caso de “inverso à direita” para matriz não quadrada ( 2times 5), ou seja, devemos achar X de modo que multiplicando pela direita obtemos a identidade 2times2. Para isso vamos representar
X=l(x1;;x2r),
onde x1,x2inR^5 são colunas, e resolveremos
A,x1=10, A,x2=01

Passo 2

Escreva
então
gera o sistema
Como são equações e incógnitas, temos graus de liberdade. Para obter uma solução particular, escolhemos
Então da segunda equação vem
e da primeira
logo
Portanto uma solução para é
]

Passo 3

Análogo para
e imponha
isto é
Escolhendo de novo (c’=0,;d’=0,;e’=0], da segunda equação vem

e da primeira

logo

Assim uma solução particular é
]

Passo 4

Reunindo em X1=l(x1;x2r), obtemos o primeiro inverso à direita:
X1 = -tfrac13 & tfrac23 tfrac23 & -tfrac13 0 & 0 0 & 0 0 & 0 ,
verificando-se diretamente que A,X1=I2.

Passo 5

Para construir um segundo inverso à direita, basta usar o fato de que as soluções de cada sistema são dadas pela solução particular mais qualquer vetor do núcleo de A. Uma escolha simples de vetores do núcleo é
z1=0-1100, z2=0-1011,
pois verifica-se A,z1=0 e A,z2=0. Então definimos
X2 = X1 + l(z1;z2r) = -tfrac13 & tfrac23 tfrac23 & -tfrac13 0 & 0 0 & 0 0 & 0 + 0 & 0 -1 & -1 1 & 0 0 & 1 0 & 1 = -tfrac13 & tfrac23 -tfrac13 & -tfrac43 1 & 0 0 & 1 0 & 1
Como A,zi=0, mantém-se A,X2=I2.

Resposta

Uma possível escolha de duas inversas à direita de A é
X1 = -tfrac13 & tfrac23 tfrac23 & -tfrac13 0 & 0 0 & 0 0 & 0 , X2 = -tfrac13 & tfrac23 -tfrac13 & -tfrac43 1 & 0 0 & 1 0 & 1 ,
que satisfazem A,Xi=I2 para i=1,2.

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