Considere as afirmações:
A1- Se
então
nos pontos onde a inversa estiver definida.
A2-Seja
uma funçâo. Entâo
é bjjetora se, e somente se,
para todo conjunto
e
para todo conjunto
.
A3-O número de funções injetoras que podemos definir de
em
é 12 .
Estas afirmações são, respectivamente:
Escolha uma opçâo:
a. N,V,N
b. V.F.N
c F F, F
d. F,F,N
e. FN,V
A1- Se
A2-Seja
A3-O número de funções injetoras que podemos definir de
Escolha uma opçâo:
a. N,V,N
b. V.F.N
c F F, F
d. F,F,N
e. FN,V
Passo 1
Beleza, o enunciado traz três afirmações sobre funções:
- A1 quer saber se a inversa de
é de fato
- A2 fala de propriedades de imagem e pré-imagem que caracterizam bijeções.
- A3 pede quantas funções injetoras existem de
para .
O conteúdo envolve:
- Função inversa (resolver
pra achar em função de ), - Imagem e pré-imagem de conjuntos (teoria de bijeção),
- Princípio multiplicativo (contagem de funções injetoras).
Passo 2
Vamos verificar A1. Defina
Primeiro somamos a fração:
Multiplicando em cruz:
Logo
Isso diz que
que não coincide com
.
Então A1 é falsa.
Então A1 é falsa.
Passo 3
Agora A2. A gente lembra que, para toda função
:
- Sempre vale
. Essa igualdade vira exata ( ) para toda se e só se for injetora. - Sempre vale
. Essa igualdade vira exata ( ) para toda se e só se for sobrejetora.
Juntando as duas condições a gente garante injetividade e sobrejetividade ao mesmo tempo, ou seja, bijeção.
Logo A2 é verdadeira.
Logo A2 é verdadeira.
Passo 4
Por fim A3. Quantas funções injetoras há de um conjunto com 2 elementos em outro com 4?
Pela regra da contagem: o primeiro elemento de tem 4 opções de imagem, e o segundo (visto que não pode repetir) tem 3 opções.
Então o total é
Pela regra da contagem: o primeiro elemento de
Então o total é
Logo A3 é verdadeira.
Resposta
A1 = F, A2 = V, A3 = V