Considere as afirmações:
A1- Se f(x)=6 x-5x+5+5 então f^-1(x)=22-9 xx-11 nos pontos onde a inversa estiver definida.
A2-Seja f: A B uma funçâo. Entâo f é bjjetora se, e somente se, f^-1(f(X))=X para todo conjunto X subset A e f(f^-1(Y))=Y para todo conjunto Y subset B.
A3-O número de funções injetoras que podemos definir de A=a, b em B=1,2,3,4 é 12 .
Estas afirmações são, respectivamente:
Escolha uma opçâo:
a. N,V,N
b. V.F.N
c F F, F
d. F,F,N
e. FN,V

Passo 1

Beleza, o enunciado traz três afirmações sobre funções:
  1. A1 quer saber se a inversa de
f(x)=6x-5x+5+5
é de fato
f^-1(x)=22-9xx-11
  1. A2 fala de propriedades de imagem e pré-imagem que caracterizam bijeções.
  2. A3 pede quantas funções injetoras existem de A=a,b para B=1,2,3,4.
O conteúdo envolve:
  • Função inversa (resolver y=f(x) pra achar x em função de y),
  • Imagem e pré-imagem de conjuntos (teoria de bijeção),
  • Princípio multiplicativo (contagem de funções injetoras).

Passo 2

Vamos verificar A1. Defina
y = 6x-5x+5+5
Primeiro somamos a fração:
y = 6x-5 +5(x+5)x+5 = 6x-5 +5x+25x+5 = 11x+20x+5
Multiplicando em cruz:
y(x+5)=11x+20 Longrightarrow yx+5y=11x+20 Longrightarrow yx-11x=20-5y Longrightarrow x(y-11)=20-5y
Logo
x=20-5y,y-11,
Isso diz que
f^-1(x)=20-5x,x-11,,
que não coincide com 22-9xx-11.
Então A1 é falsa.

Passo 3

Agora A2. A gente lembra que, para toda função f!:Ato B:
  • Sempre vale f^-1(f(X))supseteq X. Essa igualdade vira exata ( =!X) para toda Xsubset A se e só se f for injetora.
  • Sempre vale f(f^-1(Y))subseteq Y. Essa igualdade vira exata ( =!Y) para toda Ysubset B se e só se f for sobrejetora.
Juntando as duas condições a gente garante injetividade e sobrejetividade ao mesmo tempo, ou seja, bijeção.
Logo A2 é verdadeira.

Passo 4

Por fim A3. Quantas funções injetoras há de um conjunto com 2 elementos em outro com 4?
Pela regra da contagem: o primeiro elemento de A tem 4 opções de imagem, e o segundo (visto que não pode repetir) tem 3 opções.
Então o total é
4times 3 = 12
Logo A3 é verdadeira.

Resposta

A1 = F, A2 = V, A3 = V

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