1- Aplique o método da bisseção na determinação da raiz real positiva da função com 6 algarismo significativos corretos:
no intervalor [0,1]. Explique porque não é conveniente utilizar como condição inicial
para o método de Newton-Raphson.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a raiz real positiva da função
dentro do intervalo [0, 1] usando o método da bisseção, com 6 algarismos significativos corretos. Além disso, precisamos explicar por que não é legal começar o método de Newton-Raphson com
.
Vamos precisar entender como funciona o método da bisseção e um pouquinho sobre o método de Newton-Raphson para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, o método da bisseção é uma técnica bem simples para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo o intervalo em duas partes e selecionando a subparte onde a função muda de sinal, ou seja, onde a função passa de positiva para negativa ou vice-versa. Repetimos isso até chegar bem perto da raiz que queremos.
Passo 3
Vamos começar aplicando o método da bisseção na nossa função
no intervalo [0, 1].
Primeiro, vamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo:
- Em
:
- Em
:
Como
e
, sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1] (por causa do Teorema do Valor Intermediário).
Passo 4
Agora, vamos começar o processo de bisseção. A cada passo, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo que contém a raiz.
Passo 1:
- Intervalo atual: [0, 1]
- Ponto médio:
-
Como
e
, a raiz está entre [0, 0,5].
Passo 2:
- Intervalo atual: [0, 0,5]
- Ponto médio:
-
Ainda
, então a raiz está entre [0, 0,25].
Passo 3:
- Intervalo atual: [0, 0,25]
- Ponto médio:
-
Agora
, então a raiz está entre [0,125, 0,25].
Passo 5
Vamos continuar esse processo até alcançarmos a precisão desejada de 6 algarismos significativos.
Passo 4:
- Intervalo: [0,125, 0,25]
-
-
Raiz entre [0,125, 0,1875]
Passo 5:
- Intervalo: [0,125, 0,1875]
-
-
Raiz entre [0,125, 0,15625]
Passo 6:
- Intervalo: [0,125, 0,15625]
-
-
Raiz entre [0,140625, 0,15625]
Continuando esse processo até chegarmos a 6 algarismos:
Após várias iterações, o intervalo vai se estreitando e a raiz real positiva de
será aproximadamente:
Resposta
A raiz real positiva de
no intervalo [0,1], calculada pelo método da bisseção com 6 algarismos significativos, é aproximadamente
.