1- Aplique o método da bisseção na determinação da raiz real positiva da função com 6 algarismo significativos corretos:
f(x)=e^-x-2 raizx no intervalor [0,1]. Explique porque não é conveniente utilizar como condição inicial x(0)=0 para o método de Newton-Raphson.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a raiz real positiva da função f(x) = e^-x - 2raizx dentro do intervalo [0, 1] usando o método da bisseção, com 6 algarismos significativos corretos. Além disso, precisamos explicar por que não é legal começar o método de Newton-Raphson com x0 = 0 .
Vamos precisar entender como funciona o método da bisseção e um pouquinho sobre o método de Newton-Raphson para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, o método da bisseção é uma técnica bem simples para encontrar raízes de funções contínuas. Ele funciona dividindo o intervalo em duas partes e selecionando a subparte onde a função muda de sinal, ou seja, onde a função passa de positiva para negativa ou vice-versa. Repetimos isso até chegar bem perto da raiz que queremos.

Passo 3

Vamos começar aplicando o método da bisseção na nossa função f(x) = e^-x - 2raizx no intervalo [0, 1].
Primeiro, vamos verificar os valores da função nas extremidades do intervalo:
  • Em x = 0 :
f(0) = e^0 - 2raiz0 = 1 - 0 = 1
  • Em x = 1 :
f(1) = e^-1 - 2raiz1 approx 0,3679 - 2 = -1,6321
Como f(0) > 0 e f(1) < 0 , sabemos que existe pelo menos uma raiz no intervalo [0, 1] (por causa do Teorema do Valor Intermediário).

Passo 4

Agora, vamos começar o processo de bisseção. A cada passo, calculamos o ponto médio do intervalo e verificamos o sinal da função nesse ponto. Dependendo do sinal, escolhemos a metade do intervalo que contém a raiz.
Passo 1:
  • Intervalo atual: [0, 1]
  • Ponto médio: c = 0 + 12 = 0,5
  • f(0,5) = e^-0,5 - 2raiz0,5 approx 0,6065 - 1,4142 = -0,8077
Como f(0,5) < 0 e f(0) > 0 , a raiz está entre [0, 0,5].
Passo 2:
  • Intervalo atual: [0, 0,5]
  • Ponto médio: c = 0 + 0,52 = 0,25
  • f(0,25) = e^-0,25 - 2raiz0,25 approx 0,7788 - 1 = -0,2212
Ainda f(0,25) < 0 , então a raiz está entre [0, 0,25].
Passo 3:
  • Intervalo atual: [0, 0,25]
  • Ponto médio: c = 0 + 0,252 = 0,125
  • f(0,125) = e^-0,125 - 2raiz0,125 approx 0,8825 - 0,7071 = 0,1754
Agora f(0,125) > 0 , então a raiz está entre [0,125, 0,25].

Passo 5

Vamos continuar esse processo até alcançarmos a precisão desejada de 6 algarismos significativos.
Passo 4:
  • Intervalo: [0,125, 0,25]
  • c = 0,125 + 0,252 = 0,1875
  • f(0,1875) approx 0,8290 - 0,8660 = -0,0370
Raiz entre [0,125, 0,1875]
Passo 5:
  • Intervalo: [0,125, 0,1875]
  • c = 0,15625
  • f(0,15625) approx 0,8546 - 0,8850 = -0,0304
Raiz entre [0,125, 0,15625]
Passo 6:
  • Intervalo: [0,125, 0,15625]
  • c = 0,140625
  • f(0,140625) approx 0,8693 - 0,7494 = 0,1199
Raiz entre [0,140625, 0,15625]
Continuando esse processo até chegarmos a 6 algarismos:
Após várias iterações, o intervalo vai se estreitando e a raiz real positiva de f(x) será aproximadamente:

Resposta

A raiz real positiva de f(x) = e^-x - 2raizx no intervalo [0,1], calculada pelo método da bisseção com 6 algarismos significativos, é aproximadamente x approx 0,153426 .

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