Exercício 16. Determine a posição relativa entre as retas
e
no seguintes casos:
r: X= (1,-1,1)+\lambda(-2,1,-1) e s:\left{
\right.
r: X= (1,-1,1)+\lambda(-2,1,-1) e s:\left{
Passo 1
O enunciado pede para determinar a posição relativa entre duas retas no espaço:
– A reta
– A reta
está definida como interseção de dois planos
Para decidir se elas se intersectam, são coincidentes ou paralelas, vamos comparar os vetores direção e testar se um ponto de .
Passo 2
Identificamos o vetor direção de
diretamente do parâmetro:
Para
, o vetor direção
é dado pelo produto vetorial dos normais dos dois planos. Os normais são
Logo
Passo 3
Como
vemos que os vetores direção são proporcionais. Logo,
r e
s são paralelas ou coincidentes.
Passo 4
Para distinguir paralelas de coincidentes, basta verificar se um ponto de
r pertence a
s . Tomemos
lambda=0 em
r , o ponto
Substituindo em
s :
logo
P0notin s . Portanto não há interseção e as retas não coincidem.
Resposta
As retas
r e
s são paralelas distintas.