Exercício 16. Determine a posição relativa entre as retas r e s no seguintes casos:
r: X= (1,-1,1)+\lambda(-2,1,-1) e s:\left{ l y+z=3 x+y-z=6 \right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre duas retas no espaço:
– A reta
– A reta está definida como interseção de dois planos
Para decidir se elas se intersectam, são coincidentes ou paralelas, vamos comparar os vetores direção e testar se um ponto de .

Passo 2

Identificamos o vetor direção de r diretamente do parâmetro:
vr = (-2,1,-1)
Para s, o vetor direção vs é dado pelo produto vetorial dos normais dos dois planos. Os normais são
n1=(0,1,1), n2=(1,1,-1)
Logo
vs = n1 times n2 = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 1 & -1 = (-2,,1,,-1)

Passo 3

Como
vr = (-2,1,-1) e vs = (-2,1,-1),
vemos que os vetores direção são proporcionais. Logo, r e s são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para distinguir paralelas de coincidentes, basta verificar se um ponto de r pertence a s. Tomemos lambda=0 em r, o ponto
P0 = (1,-1,1)
Substituindo em s:
y+z = -1 + 1 = 0 neq 3,
logo P0notin s. Portanto não há interseção e as retas não coincidem.

Resposta

As retas r e s são paralelas distintas.

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