Exercício 15. Determine m in R para que as retas r e s não sejam reversas, onde:
r: X=(1,0,2)+lambda(2,1,3) s: X=(0,1,-1)+mu(1, m, 2 m)
Para esse valor de m, decida se r e s são paralelas ou concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma paramétrica:
r: X = (1,0,2) + lambda(2,1,3), s: X = (0,1,-1) + mu(1,m,2m)
Queremos os valores de m tais que r e s não sejam linhas reversas (isto é, não sejam simultaneamente não paralelas e não concorrentes). Para isso lembramos que duas retas no espaço só deixam de ser reversas se forem paralelas ou se se cortarem.

Passo 2

Verificamos primeiro se existem valores de m que tornem r e s paralelas. As direções são
vr = (2,1,3), vs = (1,m,2m)
Para serem paralelas precisamos de um escalar k tal que
(1,m,2m) = k,(2,1,3)
Das coordenadas x vêm 1=2kRightarrow k=tfrac12. Da coordenada y vem m=k=tfrac12. Mas da coordenada z teríamos 2m=3kRightarrow 2m=tfrac32Rightarrow m=tfrac34, que contradiz m=tfrac12. Logo não há m que torne as retas paralelas.

Passo 3

Restou buscar
Isto gera o sistema
Da primeira equação . Por fim, impomos a terceira equação:

Passo 4

Concluímos que o único valor de m que elimina o caso reverso (já que não há paralelismo) é
m = tfrac23,
pois para esse m as retas se intersectam num ponto comum.

Resposta

m = tfrac23, e para esse valor as retas r e s são concorrentes (isto é, se cortam).

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