Exercício 15. Determine para que as retas e não sejam reversas, onde:
Para esse valor de , decida se e são paralelas ou concorrentes.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma paramétrica:
Queremos os valores de tais que e não sejam linhas reversas (isto é, não sejam simultaneamente não paralelas e não concorrentes). Para isso lembramos que duas retas no espaço só deixam de ser reversas se forem paralelas ou se se cortarem.
Passo 2
Verificamos primeiro se existem valores de que tornem e paralelas. As direções são
Para serem paralelas precisamos de um escalar tal que
Das coordenadas vêm . Da coordenada vem . Mas da coordenada teríamos , que contradiz . Logo não há que torne as retas paralelas.
Passo 3
Restou buscar
Isto gera o sistema
Da primeira equação . Por fim, impomos a terceira equação:
Passo 4
Concluímos que o único valor de m que elimina o caso reverso (já que não há paralelismo) é
m = tfrac23,
pois para esse m as retas se intersectam num ponto comum.
Resposta
m = tfrac23, e para esse valor as retas r e s são concorrentes (isto é, se cortam).