a. A forma escalonada de uma matriz é única.
b. Se todas as colunas de uma matriz aumentada contiverem um pivô, então o sistema correspondente será inconsistente.
c. As posições de pivô em uma matriz dependem se foi usada a troca de linhas no processo de escalonamento da matriz.
d. Uma solução geral de um sistema é uma descrição explícita de todas as soluções do sistema.
e. Sempre que um sistema tiver variáveis livres, o conjunto solução conterá muitas soluções.
b. Se todas as colunas de uma matriz aumentada contiverem um pivô, então o sistema correspondente será inconsistente.
c. As posições de pivô em uma matriz dependem se foi usada a troca de linhas no processo de escalonamento da matriz.
d. Uma solução geral de um sistema é uma descrição explícita de todas as soluções do sistema.
e. Sempre que um sistema tiver variáveis livres, o conjunto solução conterá muitas soluções.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre sistemas lineares: unicidade da forma escalonada, pivôs na matriz aumentada, efeito de trocas de linhas sobre pivôs, definição de solução geral e relação entre variáveis livres e número de soluções.
Passo 2
A afirmação (a) diz que a forma escalonada (REF) de uma matriz é única. Na verdade, a forma escalonada reduzida (RREF) é única, mas a REF pode variar dependendo das operações e escolhas de pivô. Portanto (a) é falsa.
Passo 3
A afirmação (b) afirma que se todas as colunas de uma matriz aumentada tiverem um pivô, o sistema é inconsistente. Ter um pivô na última coluna (coluna dos termos independentes) significa uma equação do tipo 0x=1, logo inconsistente. Então (b) é verdadeira.
Passo 4
A afirmação (c) diz que as posições de pivô dependem das trocas de linha durante o escalonamento. Embora trocas mudem temporariamente a REF, na forma escalonada reduzida (RREF) as posições finais dos pivôs (colunas pivô) são invariantes. Logo (c) é falsa.
Passo 5
A afirmação (d) define solução geral como descrição explícita de todas as soluções. Isso coincide com o conceito: solução geral reúne todas as soluções do sistema. Logo (d) é verdadeira.
Passo 6
A afirmação (e) afirma que sempre que houver variáveis livres haverá muitas soluções. Variáveis livres implicam grau de liberdade e, portanto, infinitas soluções. Logo (e) é verdadeira.
Resposta
a. Falsa; b. Verdadeira; c. Falsa; d. Verdadeira; e. Verdadeira