Resolva cada um dos P.V.I.s:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(0)=-1, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (P.V.I.)
y'' + 2y' + 5y = 0, \quad y(0)=-1, \quad y'(0)=2,
que é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2 + 2r + 5 = 0.
O discriminante é \Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = -16, de modo que as raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2\,\mathrm{i}.
Para raízes complexas r = \alpha \pm \beta\mathrm{i}, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\bigr),
logo aqui
y(x) = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Agora calculamos y'(x) e impomos as condições iniciais. Usando regra do produto:
y'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl[e^{-x}(A\cos2x + B\sin2x)\Bigr] = e^{-x}\Bigl((2B - A)\cos2x +(-2A - B)\sin2x\Bigr).
Em x=0 temos
y(0)=A = -1, \qquad y'(0) = (2B - A) = 2.
Como A=-1, a segunda condição vira 2B - (-1) = 2, isto é 2B +1=2 e daí
B = \tfrac12.

Passo 4

Substituindo A=-1 e B=\tfrac12 na solução geral, obtemos
y(x) = e^{-x}\!\Bigl(-\cos2x + \tfrac12\sin2x\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{-x}\bigl(-\cos2x + \tfrac12\,\sin2x\bigr).

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