Aplique o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas nos problemas abaixo. Se forem dadas condições iniciais, encontre a solução particular que satisfaz essas condições.
x^prime=3 x+4 y, y^prime=3 x+2 y+t^2 ; x(0)=y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x' = 3x + 4y, y' = 3x + 2y + t^2
com condições iniciais x(0)=0, y(0)=0. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular do sistema e depois incorporar a solução homogênea para atender às condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos o sistema homogêneo
vec X' = A,vec X, A = 3 & 43 & 2
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =(3-lambda)(2-lambda)-12 =lambda^2-5lambda-6=0,
cuja raízes são lambda1=6 e lambda2=-1.
Para lambda1=6 o autovetor satisfaz -3x+4y=0, logo v1=(4,3).
Para lambda2=-1 o autovetor satisfaz 4x+4y=0, logo v2=(1,-1).
Assim a solução homogênea geral é
vec Xh(t) =C1e^6t43 +C2e^-t1-1

Passo 3

Proponho uma solução particular polinomial de grau 2 para
vec f(t)=(0,t^2):
vec Xp(t) = a2t^2+a1t+a0[4pt] b2t^2+b1t+b0
Calculamos
vec Xp'(t)=l(2a2t+a1,;2b2t+b1r)^T
e impomos
vec Xp' = A,vec Xp + vec f(t).
]

Passo 4

Igualando coeficientes de t^2, t e constante em cada componente obtemos o sistema
primeira componente:
3a2+4b2=0, 3a1+4b1=2a2, 3a0+4b0=a1,
segunda componente:
3a2+2b2+1=0, 3a1+2b1=2b2, 3a0+2b0=b1
Resolvendo, encontra-se
a2=-tfrac23, b2=tfrac12, a1=tfrac109, b1=-tfrac76, a0=-tfrac3127, b0=tfrac4136
Portanto
vec Xp(t) = -tfrac23,t^2+tfrac109,t-tfrac3127[4pt] tfrac12,t^2-tfrac76,t+tfrac4136
]

Passo 5

A solução geral do sistema é
vec X(t) =vec Xh(t)+vec Xp(t) =C1e^6t43 +C2e^-t1-1 +vec Xp(t)
Impondo x(0)=0, y(0)=0 surgem as equações
4C1+C2-tfrac3127=0, 3C1-C2+tfrac4136=0
Da soma e subtração conclui-se
C1=1756, C2=87

Resposta

x(t) =1189e^6t+87e^-t -23t^2+109t-3127,
y(t) =1252e^6t-87e^-t +12,t^2-76,t+4136

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