Aplique o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas nos problemas abaixo. Se forem dadas condições iniciais, encontre a solução particular que satisfaz essas condições.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
com condições iniciais
,
. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter uma solução particular do sistema e depois incorporar a solução homogênea para atender às condições iniciais.
Passo 2
Primeiro resolvemos o sistema homogêneo
O polinômio característico é
cuja raízes são
e
.
Para o autovetor satisfaz
, logo
.
Para o autovetor satisfaz
, logo
.
Assim a solução homogênea geral é
Para
Para
Assim a solução homogênea geral é
Passo 3
Proponho uma solução particular polinomial de grau
para
:
Calculamos
e impomos
.
]
e impomos
]
Passo 4
Igualando coeficientes de
,
e constante em cada componente obtemos o sistema
primeira componente:
primeira componente:
segunda componente:
Resolvendo, encontra-se
Portanto
]
Passo 5
A solução geral do sistema é
Impondo
,
surgem as equações
Da soma e subtração conclui-se