Determine o valor da integral integral d xraiz(e^x)^2-1 por substituição. (6v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral dxraiz(e^x)^2-1 usando o método de substituição. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo técnicas de substituição para resolver integrais mais complicadas. Para resolver, vamos precisar usar uma mudança de variável que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar:
u = e^x
Com isso, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar dx:
dudx = e^x
Então, isolando dx:
dx = due^x = duu

Passo 3

Agora, vamos substituir u = e^x e dx = duu na integral original:
integral dxraizu^2 - 1 = integral duuraizu^2 - 1 = integral duu raizu^2 - 1
Essa nova integral está em termos de u, o que facilita a resolução.

Passo 4

Para resolver integral duu raizu^2 - 1, vamos fazer uma nova substituição. Seja:
t = raizu^2 - 1
Calculando a derivada de t em relação a u:
dtdu = uraizu^2 - 1
Isolando du:
du = raizu^2 - 1u dt = tu dt
Substituindo na integral:
integral duu cdot t = integral tu dtu cdot t = integral dtu^2
Mas, lembrando que u^2 = t^2 + 1, temos:
integral dtt^2 + 1 = arctan(t) + C
Substituindo de volta t = raizu^2 - 1:
arctan(raizu^2 - 1) + C
E lembrando que u = e^x, a solução final fica:
arctan(raize^2x - 1) + C

Resposta

A integral integral dxraiz(e^x)^2-1 é igual a arctan(raize^2x - 1) + C, onde C é a constante de integração.

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