Encontre a solução geral dos sistemas dados:
x^prime=[cc7 & 1 -4 & 3] x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de coeficientes constantes
x' = A,x
com
A = 7 & 1 -4 & 3
O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores. Como veremos, o autovalor é duplo e a matriz é defectiva, então precisamos de autovetor e vetor generalizado.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A definindo
detl(A - lambda Ir) = det7-lambda & 1 -4 & 3-lambda = (7-lambda)(3-lambda)-(-4)cdot1
Expandindo,
(7-lambda)(3-lambda)+4 = 21 -10lambda +lambda^2 +4 = lambda^2 -10lambda +25

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 -10lambda +25 = 0
temos lambda = 5 como raiz dupla (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Para achar os autovetores resolvemos
Da primeira linha , escolhemos , . Assim um autovetor é
Como só surgiu um autovetor (multiplicidade geométrica ), a matriz é defectiva.

Passo 5

Para formar a segunda solução buscamos vetor generalizado tal que
Seja . Então
. Tomando , vem . Logo

Passo 6

A teoria diz que, para autovalor lambda=5 de multiplicidade dupla mas com só um autovetor v, as duas soluções fundamentais são
e^5tv e e^5t(t,v + w)
Assim a solução geral do sistema é
x(t) = C1 e^5t1-2 + C2 e^5tl(t1-2 + 01r),
onde C1 e C2 são constantes reais arbitrárias.

Resposta

x(t) = C1 e^5t1-2 + C2 e^5tl(t1-2 + 01r)

Exercícios relacionados