integral d xx^2+3 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral dxx^2+3x
O conteúdo aqui é integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Observe que o denominador fatora como
x^2+3x = x,(x+3)
Logo a integral fica
integral dxx,(x+3)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais, supondo que
1x,(x+3) = Ax + Bx+3
Multiplicando ambos os lados por x,(x+3), obtemos
1 = A,(x+3) + B,x

Passo 4

Igualando coeficientes em
Daí .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral dxx^2+3x = integral l(1/3x - 1/3x+3r),dx = 13integral l(1x - 1x+3r),dx
Integrando, obtemos
13l(ln|x| - ln|x+3|r) + C

Resposta

13ln!l|xx+3r| + C

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