Aplique o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas nos problemas abaixo. Se forem dadas condições iniciais, encontre a solução particular que satisfaz essas condições.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear não-homogêneo
e pede que a gente ache uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. Aqui a ideia é reduzir o sistema a uma única EDO de segunda ordem em
e depois reencontrar
via a segunda equação.
Passo 2
Da segunda equação temos
Derivando essa expressão,
. Substituindo em
vem
ou seja,
Passo 3
A equação
tem polinômio característico
, cujas raízes são
. Como a frequência forçante
coincide com a frequência natural, há ressonância de ordem
. Então tentamos um particular da forma
Calculamos suas derivadas:
Substituindo em
, os termos em
se cancelam e sobra
Logo
Passo 4
Para achar
usamos
. Temos
Portanto
Resposta
Uma possível solução particular é