Aplique o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas nos problemas abaixo. Se forem dadas condições iniciais, encontre a solução particular que satisfaz essas condições.
x^prime=x-5 y+cos 2 t, y^prime=x-y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear não-homogêneo
x' = x - 5y + cos2t, y' = x - y,
e pede que a gente ache uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados. Aqui a ideia é reduzir o sistema a uma única EDO de segunda ordem em y e depois reencontrar x via a segunda equação.

Passo 2

Da segunda equação temos
y' = x - y Longrightarrow x = y' + y
Derivando essa expressão, x' = y'' + y'. Substituindo em
x' = x - 5y + cos2t
vem
y'' + y' = (y' + y) -5y + cos2t ;Longrightarrow; y'' = -4y + cos2t,
ou seja,
y'' + 4y = cos2t

Passo 3

A equação
y'' + 4y = cos2t
tem polinômio característico lambda^2+4=0, cujas raízes são pm2i. Como a frequência forçante omega=2 coincide com a frequência natural, há ressonância de ordem m=1. Então tentamos um particular da forma
yp(t) = A,tsin2t + B,tcos2t
Calculamos suas derivadas:
yp' = Asin2t + Bcos2t + tl(2Acos2t - 2Bsin2tr),
yp'' = 4Acos2t -4Bsin2t ;-;4tl(Asin2t + Bcos2tr)
Substituindo em y''+4y=cos2t, os termos em t se cancelam e sobra
4Acos2t - 4Bsin2t = cos2t ;Longrightarrow; 4A=1,;;-4B=0 ;Longrightarrow; A=tfrac14,;B=0
Logo
yp(t) = t4,sin2t

Passo 4

Para achar xp usamos x = y' + y. Temos
yp(t)= t4sin2t, yp'(t)=14sin2t + t2cos2t
Portanto
xp(t) = yp'(t) + yp(t) = 14sin2t + t2cos2t + t4sin2t = t2cos2t + t+14,sin2t

Resposta

Uma possível solução particular é
xp(t) = t2cos2t + t+14sin2t, yp(t) = t4sin2t

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