Aplique o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas dados.
x^prime=[ll6 & -7 1 & -2] x+[c2 t 3]

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular para o sistema não homogêneo
x' = A,x + g(t),
onde
A = 6 & -7 [6pt]1 & -2, g(t)=2t[3pt]3
O método de variação de parâmetros nos diz para primeiro achar a matriz fundamental X(t) do sistema homogêneo x'=Ax, depois usar
xp(t)=X(t)integral X(t)^-1g(t),dt ]

Passo 2

Encontramos as soluções do homogêneo por autovalores. A equação característica é
det(A-lambda I)=lambda^2-4lambda-5=0 ;Longrightarrow; lambda1=5,;lambda2=-1
Os autovetores correspondentes são
v1=(7,1)^T para lambda1=5 e
v2=(1,1)^T para lambda2=-1.
Logo, a matriz fundamental é
X(t) =l[v1e^5t,,v2e^-tr] = 7e^5t & e^-t[4pt] e^5t & e^-t ]

Passo 3

Calculamos X(t)^-1. O determinante é
det X(t) =7e^5tcdot e^-t-e^5tcdot e^-t =6e^4t,
portanto
X(t)^-1 =16e^4t e^-t & -e^-t[4pt] -,e^5t & 7e^5t = dfrace^-5t6 & -dfrace^-5t6[8pt] -dfrace^t6 & dfrac7e^t6 ]

Passo 4

Formamos o produto X^-1(t),g(t):
X^-1g = dfrace^-5t6 & -dfrace^-5t6[6pt] -dfrace^t6 & dfrac7e^t6 2t3 = dfrace^-5t6(2t-3)[6pt] dfrace^t6(-2t+21)
Chamemos essa coluna de l(u1'(t),,u2'(t)r)^T.]

Passo 5

Integramos para obter u1(t) e u2(t):
1. u1(t)=integral e^-5t6,(2t-3),dt
Por partes conclui-se
integral e^-5t(2t-3),dt =e^-5t,13-10t25,
logo
u1(t) =16,e^-5t,13-10t25 =e^-5t(13-10t)150
2. u2(t)=integral e^t6,(-2t+21),dt
Por partes encontra-se
integral e^t(-2t+21),dt =e^t(-2t+23),
então
u2(t) =e^t(-2t+23)6

Passo 6

A solução particular é
xp(t) = X(t)u1(t)[4pt]u2(t) = 7e^5t & e^-t[4pt] e^5t & e^-t dfrace^-5t(13-10t)150[8pt] dfrace^t(-2t+23)6 ]

Passo 7

Fazendo as multiplicações e somas de termos, chega-se a
xp(t) = dfrac-20t+11125[6pt] dfrac-10t+9825 ]

Resposta

xp(t) = dfrac-20t+11125[6pt] dfrac-10t+9825 ]

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