Aplique o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas dados.
Passo 1
O enunciado pede uma solução particular para o sistema não homogêneo
onde
O método de variação de parâmetros nos diz para primeiro achar a matriz fundamental
X(t) do sistema homogêneo
x'=Ax , depois usar
Passo 2
Encontramos as soluções do homogêneo por autovalores. A equação característica é
Os autovetores correspondentes são
v1=(7,1)^T para
lambda1=5 e
v2=(1,1)^T para
lambda2=-1 .
Logo, a matriz fundamental é
Logo, a matriz fundamental é
Passo 3
Calculamos
X(t)^-1 . O determinante é
portanto
Passo 4
Formamos o produto
X^-1(t),g(t) :
Chamemos essa coluna de
l(u1'(t),,u2'(t)r)^T .]
Passo 5
Integramos para obter
u1(t) e
u2(t) :
Por partes conclui-se
logo
Por partes encontra-se
então
Passo 6
A solução particular é
Passo 7
Fazendo as multiplicações e somas de termos, chega-se a