Aplique o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas dados.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x' = Ax + f(t),
com
A = 4 & -1 5 & -2, f(t) = e^-t 2e^-t,
e pede uma solução particular via variação dos parâmetros. Vamos (i) achar a matriz fundamental X(t) do sistema homogêneo x'=Ax, (ii) calcular X(t)^-1f(t), (iii) integrar e obter xp(t)=X(t)!integral X^-1(t)f(t),dt.
Passo 2
Resolvendo o homogêneo: o polinômio característico é
det(A-lambda I)=lambda^2-2lambda-3=0,
com raízes lambda1=3, lambda2=-1.
Para lambda1=3, um autovetor é v1=(1,1)^T.
Para lambda2=-1, um autovetor é v2=(1,5)^T.