Aplique o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular de cada um dos sistemas dados.
x^prime=[ll4 & -1 5 & -2] x+[ce^-t 2 e^-t]

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x' = Ax + f(t),
com
A = 4 & -1 5 & -2, f(t) = e^-t 2e^-t,
e pede uma solução particular via variação dos parâmetros. Vamos (i) achar a matriz fundamental X(t) do sistema homogêneo x'=Ax, (ii) calcular X(t)^-1f(t), (iii) integrar e obter xp(t)=X(t)!integral X^-1(t)f(t),dt.

Passo 2

Resolvendo o homogêneo: o polinômio característico é
det(A-lambda I)=lambda^2-2lambda-3=0,
com raízes lambda1=3, lambda2=-1.
Para lambda1=3, um autovetor é v1=(1,1)^T.
Para lambda2=-1, um autovetor é v2=(1,5)^T.

Passo 3

A matriz fundamental fica
X(t)=l[v1e^3t,,v2e^-tr] =e^3t&e^-t e^3t&5e^-t

Passo 4

Calculamos X(t)^-1. O determinante de X(t) é
det X(t)=e^3tcdot5e^-t-e^-tcdot e^3t=4e^2t,
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X(t)^-1=14e^2t 5e^-t&-e^-t -e^3t&e^3t
Multiplicando por f(t):
X^-1(t),f(t) =14e^2t 5e^-t&-e^-t -e^3t&e^3t e^-t 2e^-t =tfrac34e^-4t tfrac14

Passo 5

Integramos componente a componente:
integral X^-1(t)f(t),dt =integraltfrac34e^-4t tfrac14dt =-tfrac316e^-4t tfract4
(escolhemos a constante de integração igual a zero, que só gera parte homogênea).

Passo 6

A solução particular é
xp(t) = X(t),-tfrac316e^-4t tfract4 =e^3t&e^-t e^3t&5e^-t -tfrac316e^-4t tfract4
Fazendo o produto e simplificando:
xp(t) =e^-t tfract4-tfrac316 tfrac5t4-tfrac316 =e^-t16 4t-3 20t-3

Resposta

boxedxp(t)=e^-t164t-3 20t-3

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