Aplique o método dos coeficientes indeterminados para resolver o sistema em ]-infty, infty[.
X^prime=[cc4 & 1 / 3 9 & 6] X+[l-3 10] e^t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
X' = A,X + b,e^t,
onde
A = 4 & tfrac13[6pt]9 & 6, b = -3[3pt]10,
usando o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma parte particular e o método de autovalores/autovetores para a parte homogênea.]

Passo 2

Resolvemos primeiro o sistema homogêneo
X' = A,X
O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = 4-lambda & tfrac13[3pt]9 & 6-lambda = (4-lambda)(6-lambda) - 3 = lambda^2 - 10lambda + 21
As raízes são
lambda1,2 = 10 pm raiz100 - 842 = 10 pm 42 implies lambda1 = 7,;lambda2 = 3
Para lambda1=7, resolvemos (A-7I)v=0:
-3 & tfrac13[3pt]9 & -1 v1[3pt]v2 =0 implies v2 = 9,v1,
escolhendo v^(1) = l(1,9r)^T.
Para lambda2=3,
1 & tfrac13[3pt]9 & 3 v1[3pt]v2 =0 implies v1 + tfrac13,v2=0 implies v^(2) = l(-1,3r)^T
Logo, a solução geral homogênea é
Xh(t) = C1 1[3pt]9 e^7t + C2 -1[3pt]3 e^3t ]

Passo 3

Para a parte particular, usamos o ansatz
Xp(t) = u,e^t,
com uinR^2 constante. Substituindo em X' = A,X + b,e^t:
u,e^t = Al(u,e^tr) + b,e^t ;Longrightarrow; (I - A),u = b
Aqui
I - A = 1-4 & -tfrac13[3pt]-9 & 1-6 = -3 & -tfrac13[3pt]-9 & -5,
e resolvendo
-3 & -tfrac13[3pt]-9 & -5 u1[3pt]u2 = -3[3pt]10
obtemos
u1 = tfrac5536, u2 = -tfrac194
Portanto
Xp(t) = tfrac5536[3pt]-tfrac194 e^t ]

Passo 4

A solução geral do sistema é a soma da parte homogênea com a particular:
X(t) = C1 1[3pt]9 e^7t + C2 -1[3pt]3 e^3t + tfrac5536[3pt]-tfrac194 e^t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.]

Resposta

X(t) = C1 1[3pt]9 e^7t + C2 -1[3pt]3 e^3t + tfrac5536[3pt]-tfrac194 e^t ]

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