Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
x y^prime=y^2+y (Set y / x=u)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de ordem 1
x,y' = y^2 + y
e sugere a substituição
u = yx
O conteúdo é equações homogêneas e vamos usar essa troca para transformar em uma equação separável.

Passo 2

Em função de u, escrevemos
y = x,u
e, por derivação,
y' = ddx(x,u) = u + x,u'
Substituindo em x,y' = y^2 + y
x,(u + x,u') = (x,u)^2 + x,u

Passo 3

Expandindo e simplificando os termos comuns, obtemos
x,u + x^2,u' = x^2,u^2 + x,u
e cancelando x,u de ambos os lados:
x^2,u' = x^2,u^2
Como x^2neq0, dividimos por x^2:
u' = u^2

Passo 4

Agora temos a equação separável
dudx = u^2 Longrightarrow duu^2 = dx
Integramos ambos os lados:
integral duu^2 = integral dx Longrightarrow -,1u = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para u,
u = -1x + C
Voltando a y = x,u, a solução geral é
boxedy = -x,x + C,

Passo 6

Verificação por substituição:
Temos
y = -xx+C Longrightarrow y' = ddxl(-tfracxx+Cr) = -(x+C) - x(x+C)^2 = -C(x+C)^2
Então
x,y' = -,x,C(x+C)^2,
e
y^2 + y = l(-tfracxx+Cr)^2 + l(-tfracxx+Cr) = x^2(x+C)^2 - xx+C = x^2 - x(x+C)(x+C)^2 = -,x,C(x+C)^2,
que coincide com x,y'. A solução está confirmada.

Resposta

y = -x,x + C,

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