Find a general solution. Show the steps of derivation. Check your answer by substitution.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de ordem 1
e sugere a substituição
O conteúdo é equações homogêneas e vamos usar essa troca para transformar em uma equação separável.
Passo 2
Em função de
, escrevemos
e, por derivação,
Substituindo em
dá
Passo 3
Expandindo e simplificando os termos comuns, obtemos
e cancelando
de ambos os lados:
Como
, dividimos por
:
Passo 4
Agora temos a equação separável
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
,
Voltando a
, a solução geral é
Passo 6
Verificação por substituição:
Temos
Temos
Então
e
que coincide com
. A solução está confirmada.