Aplique o método do fator integrante para encontrar a solução geral:
y^prime-5 y=10 e^5 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo y' - 5y = 10 e^5x . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver. Vamos precisar entender como transformar essa equação para facilitar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das EDOs lineares de primeira ordem, que é:
y' + P(x) y = Q(x)
No nosso caso, a equação y' - 5y = 10 e^5x já está quase na forma padrão. A gente pode reescrever assim:
y' + (-5) y = 10 e^5x
Aqui, P(x) = -5 e Q(x) = 10 e^5x .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( mu(x) ). O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -5 :
mu(x) = e^integral -5 , dx = e^-5x

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = e^-5x :
e^-5x y' + e^-5x (-5) y = 10 e^5x cdot e^-5x
Simplificando o lado direito:
e^-5x y' - 5 e^-5x y = 10

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto mu(x) y . Ou seja:
ddx ( e^-5x y ) = 10
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^-5x y ) dx = integral 10 , dx
O que resulta em:
e^-5x y = 10x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, resolvemos para y multiplicando ambos os lados por e^5x :
y = e^5x (10x + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^5x (10x + C)

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