Encontre a solução do problema de valor inicial dado
2.1
y^prime prime prime+4 y^prime & =t y(0) & =0 y^prime(0) & =0 y^prime prime(0) & =1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
y''' + 4y' = t
E as condições iniciais são:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de ordem superior. Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
y''' + 4y' = 0
Para isso, construímos a equação característica substituindo y por e^rt :
r^3 + 4r = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
r^3 + 4r = 0 r(r^2 + 4) = 0
Isso nos dá as raízes:
r = 0 e r^2 = -4 Rightarrow r = pm 2i

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 + C2 cos(2t) + C3 sin(2t)
Aqui, C1, C2 e C3 são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação completa:
y''' + 4y' = t
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( t ), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
yp(t) = At + B

Passo 6

Vamos derivar yp(t) :
yp'(t) = A yp''(t) = 0 yp'''(t) = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + 4A = t
Aqui, percebemos que termos constantes não podem igualar a t . Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos tentar:
yp(t) = At + B
Derivando novamente:
yp'(t) = A yp''(t) = 0 yp'''(t) = 0
Substituindo na equação:
0 + 4A = t
Para que isso seja válido para todo t , não há solução, então precisamos mudar nossa abordagem. Vamos tentar uma solução particular de segundo grau:
yp(t) = At + B t + C
Mas isso também não resolve. A alternativa é tentar uma solução particular da forma:
yp(t) = At
Derivando:
yp'(t) = A yp''(t) = 0 yp'''(t) = 0
Substituindo:
0 + 4A = t 4A = t
Novamente, não funciona. Portanto, precisamos incluir termos que dependem de t . Vamos tentar:
yp(t) = At + B
E igualar:
4A = t
Como isso não é possível, concluímos que a solução particular não está na forma que supusemos inicialmente. Vamos tentar uma solução particular que seja um polinômio de primeiro grau multiplicado por t :
yp(t) = At
Derivando:
yp'(t) = A yp''(t) = 0 yp'''(t) = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + 4A = t
Para isso funcionar para todo t , precisamos que A = t4 , mas isso não faz sentido, já que A é uma constante. Portanto, vamos ajustar nossa suposição para uma solução particular de segundo grau:
yp(t) = At + B t^2
Derivando:
yp'(t) = A + 2Bt yp''(t) = 2B yp'''(t) = 0
Substituindo na equação:
0 + 4(A + 2Bt) = t 4A + 8Bt = t
Agora, igualamos os coeficientes:
Para os termos de t :
8B = 1 Rightarrow B = 18
Para os termos constantes:
4A = 0 Rightarrow A = 0
Então, a solução particular é:
yp(t) = 18 t^2

Passo 7

Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 + C2 cos(2t) + C3 sin(2t) + 18 t^2

Passo 8

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1, C2 e C3 .
Primeiro, y(0) = 0 :
0 = C1 + C2 cos(0) + C3 sin(0) + 18 cdot 0^2 0 = C1 + C2 cdot 1 + 0 + 0 C1 + C2 = 0 Rightarrow C1 = -C2
Segundo, y'(0) = 0 . Vamos derivar y(t) :
y'(t) = -2C2 sin(2t) + 2C3 cos(2t) + 14 t
Aplicando t = 0 :
0 = -2C2 cdot 0 + 2C3 cdot 1 + 14 cdot 0 0 = 2C3 C3 = 0
Terceiro, y''(0) = 1 . Derivamos novamente:
y''(t) = -4C2 cos(2t) - 4C3 sin(2t) + 14
Aplicando t = 0 :
1 = -4C2 cdot 1 - 0 + 14 1 = -4C2 + 14 -4C2 = 1 - 14 = 34 C2 = -316
E como C1 = -C2 :
C1 = 316

Resposta

Substituindo os valores das constantes na solução geral:
y(t) = 316 - 316 cos(2t) + 18 t^2

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