Encontre a solução do problema de valor inicial dado
2.1
2.1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
E as condições iniciais são:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de ordem superior. Primeiro, vamos achar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, construímos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau (
), vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
Passo 6
Vamos derivar
:
Substituindo na equação diferencial:
Aqui, percebemos que termos constantes não podem igualar a
. Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição para a solução particular. Vamos tentar:
Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todo
, não há solução, então precisamos mudar nossa abordagem. Vamos tentar uma solução particular de segundo grau:
Mas isso também não resolve. A alternativa é tentar uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo:
Novamente, não funciona. Portanto, precisamos incluir termos que dependem de
. Vamos tentar:
E igualar:
Como isso não é possível, concluímos que a solução particular não está na forma que supusemos inicialmente. Vamos tentar uma solução particular que seja um polinômio de primeiro grau multiplicado por
:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Para isso funcionar para todo
, precisamos que
, mas isso não faz sentido, já que
é uma constante. Portanto, vamos ajustar nossa suposição para uma solução particular de segundo grau:
Derivando:
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes:
Para os termos de
:
Para os termos constantes:
Então, a solução particular é:
Passo 7
Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação completa:
Passo 8
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Vamos derivar
:
Aplicando
:
Terceiro,
. Derivamos novamente:
Aplicando
:
E como
:
Resposta
Substituindo os valores das constantes na solução geral: