Resolva a seguinte equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso significa que a equação envolve a derivada de
(que é
) e
ela mesma, e está numa forma que a gente consegue aplicar um método padrão para resolver. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, conseguimos identificar que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que vamos chamar de
. O fator integrante é dado por:
No nosso caso, como
, temos:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Como o fator integrante só precisa de uma solução particular, podemos descartar a constante de integração
. Portanto:
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso nos ajuda a escrever a equação de uma forma que o lado esquerdo seja a derivada de
:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
A integral do lado direito fica mais simples com uma substituição. Vamos deixar u =
, então
. Mas, olhando para a integral
, notamos que:
Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos de volta:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.