Resolva a seguinte equação diferencial:
y^prime+y cos (x)=sin (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
y^prime + y cos(x) = sin(x)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Isso significa que a equação envolve a derivada de y (que é y' ) e y ela mesma, e está numa forma que a gente consegue aplicar um método padrão para resolver. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
y^prime + cos(x) y = sin(x)
Aqui, conseguimos identificar que:
P(x) = cos(x) e Q(x) = sin(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que vamos chamar de mu(x) . O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
No nosso caso, como P(x) = cos(x) , temos:
mu(x) = e^integral cos(x) dx

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral cos(x) dx = sin(x) + C
Como o fator integrante só precisa de uma solução particular, podemos descartar a constante de integração C . Portanto:
mu(x) = e^sin(x)

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) :
e^sin(x) y^prime + e^sin(x) cos(x) y = e^sin(x) sin(x)
Isso nos ajuda a escrever a equação de uma forma que o lado esquerdo seja a derivada de mu(x) y :
ddx ( e^sin(x) y ) = e^sin(x) sin(x)

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx ( e^sin(x) y ) dx = integral e^sin(x) sin(x) dx
O lado esquerdo simplifica para:
e^sin(x) y = integral e^sin(x) sin(x) dx + C

Passo 7

A integral do lado direito fica mais simples com uma substituição. Vamos deixar u = sin(x) , então du = cos(x) dx . Mas, olhando para a integral integral e^sin(x) sin(x) dx , notamos que:
integral e^u du = e^u + C
Portanto:
integral e^sin(x) sin(x) dx = e^sin(x) + C

Passo 8

Agora, substituímos de volta:
e^sin(x) y = e^sin(x) + C
Para isolar y , dividimos ambos os lados por e^sin(x) :
y = e^sin(x) + Ce^sin(x) = 1 + C e^-sin(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1 + C e^-sin(x)
Onde C é uma constante arbitrária.

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