Resolva a equação:
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial do tipo $ y’ + \frac{2}{x} y = x^{2} e^{x} $. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante e integrar algumas funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação padrão:
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} e^{x} $.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então:
Como estamos lidando com $ x $ positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Isso simplifica a equação para:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral $ \int x^{4} e^{x} , dx $. Para isso, usamos integração por partes repetidamente:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos $ y $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: