Resolva a equação:
y^prime+2x y=x^2 e^x

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial do tipo $ y’ + \frac{2}{x} y = x^{2} e^{x} $. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante e integrar algumas funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação padrão:
y' + P(x) y = Q(x)
Aqui, $ P(x) = \frac{2}{x} $ e $ Q(x) = x^{2} e^{x} $.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Vamos calcular essa integral:
mu(x) = e^integral P(x) , dx = e^integral 2x , dx
Então:
integral 2x , dx = 2 ln|x| + C
Como estamos lidando com $ x $ positivo, podemos simplificar para:
mu(x) = e^2 ln|x| = |x|^2

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando:
x^2 y' + x^2 cdot 2x y = x^2 cdot x^2 e^x

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Isso simplifica a equação para:
ddx(x^2 y) = x^4 e^x

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral $ \int x^{4} e^{x} , dx $. Para isso, usamos integração por partes repetidamente:
integral x^4 e^x , dx

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
x^2 y = e^x(x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24) + C
Agora, isolamos $ y $:
y

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = e^x ( x^2 - 4x + 12 - 24x + 24x^2 ) + Cx^2

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