Resolva a equação diferencial, usando o fator integrante:
y^prime+1x y=x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
y^prime + 1x y = x, x > 0
Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Isso faz parte de um tópico chamado “equações diferenciais lineares de primeira ordem”. Precisamos identificar algumas partes da equação e seguir os passos para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Aqui, comparando com a equação que temos:
P(x) = 1x e Q(x) = x
Isso é importante porque vamos usar esses P(x) e Q(x) para encontrar o fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x) . Ele é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 1x :
mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln|x| = x
Como x > 0 , podemos simplificar para mu(x) = x .

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = x :
x cdot y^prime + x cdot 1x y = x cdot x
Simplificando:
x y^prime + y = x^2

Passo 5

A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto mu(x) y . Ou seja:
ddx(x y) = x y^prime + y
Então nossa equação fica:
ddx(x y) = x^2

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx(x y) dx = integral x^2 dx
Isso dá:
x y = x^33 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, vamos resolver para y :
y = x^33x + Cx = x^23 + Cx

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = x^23 + Cx
onde C é uma constante real.

Exercícios relacionados