Resolva a equação diferencial, usando o fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação. Isso faz parte de um tópico chamado “equações diferenciais lineares de primeira ordem”. Precisamos identificar algumas partes da equação e seguir os passos para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Aqui, comparando com a equação que temos:
Isso é importante porque vamos usar esses
e
para encontrar o fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Como
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Então nossa equação fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, vamos resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.